Question

【題目】已知函數(shù)

（1）若，且在上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)的取值范圍

（2）是否存在實(shí)數(shù)，使得函數(shù)在上的最小值為？若存在，求出實(shí)數(shù)的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）實(shí)數(shù)是存在的，且.

【解析】

試題分析：（1）原題等價(jià)于在時(shí)恒成立，即恒成立，分離參數(shù)得，只需求得函數(shù)在區(qū)間值域即可；

（2）利用反證法假設(shè)存在這樣的實(shí)數(shù)，則在時(shí)恒成立，且可以取到等號(hào)，故，即，利用導(dǎo)函數(shù)求得函數(shù)的最小值，最后令最小值等于1，可求出參數(shù)的范圍.

試題解析：（1）

由已知在時(shí)恒成立，即恒成立

分離參數(shù)得，

因?yàn)?/span>

所以

所以正實(shí)數(shù)的取值范圍為：

（2）假設(shè)存在這樣的實(shí)數(shù)，則在時(shí)恒成立，且可以取到等號(hào)

故，即

從而這樣的實(shí)數(shù)必須為正實(shí)數(shù)，當(dāng)時(shí)，由上面的討論知在上遞增，，此時(shí)不合題意，故這樣的必須滿足，此時(shí)：

令得的增區(qū)間為

令得的減區(qū)間為

故

整理得

即，設(shè)，

則上式即為，構(gòu)造，則等價(jià)于

由于為增函數(shù)，為減函數(shù)，故為增函數(shù)

觀察知，故等價(jià)于，與之對(duì)應(yīng)的

綜上符合條件的實(shí)數(shù)是存在的，且