【題目】已知拋物線C:y2=2px(p>0),上的點(diǎn)M(1,m)到其焦點(diǎn)F的距離為2,
(1)求C的方程;并求其準(zhǔn)線方程;
(2)已知A (1,﹣2),是否存在平行于OA(O為坐標(biāo)原點(diǎn))的直線L,使得直線L與拋物線C有公共點(diǎn),且直線OA與L的距離等于 ?若存在,求直線L的方程;若不存在,說明理由.

【答案】
(1)解:拋物線y2=2px(p>0)的準(zhǔn)線方程為x=﹣ ,

由拋物線的定義可知:|MF|=1﹣(﹣ )=2,解得p=2,

因此,拋物線C的方程為y2=4x;其準(zhǔn)線方程為x=﹣1.


(2)解:假設(shè)存在符合題意的直線l,其方程為y=﹣2x+t,(OA的方程為:y=﹣2x)

,得y2+2 y﹣2 t=0.

因?yàn)橹本l與拋物線C有公共點(diǎn),所以得△=4+8 t,解得t≥﹣1/2.

另一方面,由直線OA與l的距離d= ,可得 ,解得t=±1.

因?yàn)椹?[﹣ ,+∞),1∈[﹣ ,+∞),所以符合題意的直線l 存在,其方程為2x+y﹣1=0.


【解析】(1)由拋物線的定義可知:|MF|=1﹣(﹣ )=2,解得p=2,則拋物線方程可得,進(jìn)而根據(jù)拋物線的性質(zhì)求得其準(zhǔn)線方程.(2)先假設(shè)存在符合題意的直線,設(shè)出其方程,與拋物線方程聯(lián)立,根據(jù)直線與拋物線方程有公共點(diǎn),求得t的范圍,利用直線AO與L的距離,求得t,則直線l的方程可得.

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B.
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④當(dāng)a>0時(shí),函數(shù)y=F(x)﹣2有4個(gè)零點(diǎn).
其中正確命題的個(gè)數(shù)為( )
A.0
B.1
C.2
D.3

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(2)對(duì)于,都有

(3)對(duì)于,使得

(4)對(duì)于,使得(注:“”同(iii)中的“”).

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