Question

已知關(guān)于x的實(shí)系數(shù)一元二次方程2x²-4（m-1）x+m²+1=0．
（1）若方程的兩根為x₁、x₂，且|x₁|+|x₂|=2，求m的值；
（2）若方程有虛根z，且z³∈R，求m的值．

Answer 1

考點(diǎn)：實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式虛根成對(duì)定理,復(fù)數(shù)求模

專題：

分析：（1）當(dāng)△≥0，求得m的范圍，由x1+x2=

m2+1

2

＞0，可知兩根同號(hào)，從而|x₁|+|x₂|=|x₁+x₂|=2，從而求得m的值．當(dāng)△＜0時(shí)，求得m的范圍，此時(shí)方程有兩個(gè)共軛復(fù)根，由|x₁|+|x₂|=2可得|x₁|=1，進(jìn)而1=|x1|2=x1x2=

m2+1

2

，解得m的值，綜合可得結(jié)論．
（2）由題意2z²-4（m-1）z+m²+1=0 （I），從而2z³-4（m-1）z²+（m²+1）z=0 （II）．由（I）、（II）聯(lián)立消去z²，根據(jù)z為虛數(shù)，且z³∈R，從而（m²+1）-8（m-1）²=0，可得7m²-16m+7=0，由此求得m的范圍．

解答： 解：（1）當(dāng)△≥0，即m∈(-∞，2-

3

]∪[2+

3

，+∞)，由x1+x2=

m2+1

2

＞0，可知兩根同號(hào)，
從而|x₁|+|x₂|=|x₁+x₂|=2，求得 2（m-1）=±2，解得m=0或m=2（舍）．
當(dāng)△＜0，可得 m∈(2-

3

，2+

3

)，此時(shí)方程有兩個(gè)共軛復(fù)根，故|x₁|=|x₂|，且由|x₁|+|x₂|=2可得|x₁|=1，
進(jìn)而1=|x1|2=x1x2=

m2+1

2

，解得m=1或m=-1（舍）；
從而綜上所述：m=0，或m=1．
（2）由題意2z²-4（m-1）z+m²+1=0 （I），從而2z³-4（m-1）z²+（m²+1）z=0 （II）．
由（I）、（II）聯(lián)立消去z²，可得2z³+[（m²+1）-8（m-1）²]z+2（m²+1）（m-1）=0
由于z為虛數(shù)，且z³∈R，從而（m²+1）-8（m-1）²=0，可得7m²-16m+7=0，
解得m=

8± 15

7

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查實(shí)系數(shù)的一元二次方程求根問題，韋達(dá)定理的應(yīng)用，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于基礎(chǔ)題．