Question

已知函數(shù)f（x）=x³-3x²-9x+1（x∈R）．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）在點(diǎn)（0，f（0））處的切線方程；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：計(jì)算題,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）先求函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)f′（x），再求所求切線的斜率即f′（0），由于切點(diǎn)為（0，0），故由點(diǎn)斜式即可得所求切線的方程；
（Ⅱ）利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，可得函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．

解答： 解：（I）由題意f'（x）=3x²-6x-9，k=f'（0）=-9，f（0）=1
所以函數(shù)在點(diǎn)（0，f（0））處的切線方程為y-1=-9x，即9x+y-1=0…（6分）
（II）令f'（x）=3x²-6x-9＞0，解得x＜-1或x＞3
令f'（x）=3x²-6x-9＜0，解得-1＜x＜3
故：函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（-∞，-1），（3，+∞），單調(diào)減區(qū)間為（-1，3）…（13分）

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查直線的斜率、導(dǎo)數(shù)的幾何意義、利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程、函數(shù)的單調(diào)性等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力．屬于基礎(chǔ)題．