Question

設(shè)a＞0且a∈Q，b=

a+2

a+1

．
（Ⅰ）證明：a≠b；
（Ⅱ）求證：在數(shù)軸上，

2

介于a與b之間，且距a較遠(yuǎn)；
（Ⅲ）在數(shù)軸上，a與b之間的距離是否可能為整數(shù)？若有，則求出這個整數(shù)；若沒有，說明理由．

Answer 1

考點：不等式比較大小

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：（I）用反證法即可證明；
（II）利用已知只要證明（a-

2

）（b-

2

）＜0，就可以證明在數(shù)軸上，

2

介于a與b之間．
當(dāng)a＜b，只要證明(

2

-a)-(b-

2

)＞0；當(dāng)a＞b，只要證明(a-

2

)-(

2

-b)＞0即可．
（III）使用反證法：假設(shè)存在整數(shù)m為a與b之間的距離，不妨設(shè)a-b=m，m=a-b=

a2-2

a+1

，化為a²-2=m（a+1），利用求根公式解得a，只要證明不存在整數(shù)m滿足a＞0即可．

解答： 證明：（Ⅰ）假設(shè)b=a，則a=

a+2

a+1

，化為a²=2，解得a=±

2

，這與a＞0且a∈Q相矛盾，
∴假設(shè)是錯誤的，
因此a≠b．
（Ⅱ）∵a＞0且a∈Q，b=

a+2

a+1

．
∴（a-

2

）（b-

2

）=(a-

2

)(

a+2

a+1

-

2

)=-

( 2 -1)(a- 2 )2

a+1

＜0，
∴

a- 2 ＜0 b- 2 ＞0

或

a- 2 ＞0 b- 2 ＜0

，
∴a＜

2

＜b或b＜

2

＜a．
∴在數(shù)軸上，

2

介于a與b之間．
若a＜b，則(

2

-a)-(b-

2

)=2

2

-a-

a+2

a+1

=-

(a- 2 +2)(a- 2 )

a+1

，
∵0＜a＜

2

，∴a-

2

＜0，a-

2

+2＞0，a+1＞0．
∴(

2

-a)-(b-

2

)＞0．
∴

2

距a較遠(yuǎn)；
當(dāng)a＞b時，同理可證明．
（Ⅲ）假設(shè)存在整數(shù)m為a與b之間的距離，不妨設(shè)a-b=m，
則m=a-b=a-

a+2

a+1

=

a2-2

a+1

，∴a²-2=m（a+1），
化為a²-ma-m-2=0，解得a=

m± (m+2)2+4

2

，
∵a∈Q，∴只有m=-2時滿足，∴a=

-2±2

2

，解得a=0或-2．這與a＞0矛盾．
∴在數(shù)軸上，a與b之間的距離不可能為整數(shù)．

點評：本題考查了反證法、一元二次不等式的解法、與實數(shù)（有理數(shù)）有關(guān)的問題，屬于難題．