Question

如圖，已知四棱錐P-ABCD，底面ABCD為邊長為2的菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC=60°，E是BC的中點，PA=AB．
（Ⅰ）證明：AE⊥PD；
（Ⅱ）若F為PD上的動點，求EF與平面PAD所成最大角的正切值．

Answer 1

考點：直線與平面所成的角

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（Ⅰ）由題設(shè)條件知△ABC為正三角形，先推導(dǎo)出AE⊥AD，PA⊥AE，由直線垂直于平面的判定定理得到AE⊥平面PAD，由此能證明AE⊥PD．
（Ⅱ）連結(jié)AF，則∠AFE為EF與平面PAD所成的角，當(dāng)AF⊥PD時，∠AFE最大，由此能求出EF與平面PAD所成最大角的正切值．

解答： 解：（Ⅰ）因為四邊形ABCD為菱形，且∠ABC=60°，
所以△ABC為正三角形．
E為BC中點，故AE⊥BC；
又因為AD∥BC，所以AE⊥AD．…（3分）
因為PA⊥平面ABCD，AE?平面ABCD，
所以PA⊥AE．…（5分）
故AE⊥平面PAD，又PD?平面PAD，
所以AE⊥PD．…（7分）
（Ⅱ）連結(jié)AF，由（Ⅰ）知AE⊥平面PAD，
所以∠AFE為EF與平面PAD所成的角．…（10分）
在Rt△AEF中，AE=

3

，∠AFE最大當(dāng)且僅當(dāng)AF最短，
即AF⊥PD時，∠AFE最大．…（12分）
依題意，此時，在Rt△PAD中，PA•AD=PD•AF，
所以AF=

2

，tan∠AFE=

AE

AF

=

6

2

．
所以，EF與平面PAD所成最大角的正切值為

6

2

．…（15分）

點評：本題考查異面直線垂直的證明，考查直線與平面所成最大角的正切值的求法，解題時要注意空間思維能力的培養(yǎng)．