Question

已知函數(shù)f（x）=ax³-3x²+3x（a＞0）
（1）當a≥1時，求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若f（x）在[1，3]的最大值為8，求a的值．

Answer 1

考點：利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：綜合題,導數(shù)的概念及應用

分析：（1）f′（x）=3ax²-6x+3，其判別式△=36-36a=36（1-a）≤0，由二次函數(shù)性質(zhì)可知f′（x）≥0恒成立，由此可得單調(diào)區(qū)間；
（2）只需求得f（x）在[1，3]上的最大值，然后令其等于8可求a．由（1）知，a≥1時，f（x）在（-∞，+∞）上是增函數(shù)，從而可得其最大值f（3），令其為8可求a；當0＜a＜1時，求得兩極值點，根據(jù)極值點在區(qū)間[1，3]內(nèi)，在區(qū)間[1，3]外進行討論，可求得f（x）在[1，3]上的最大值，令其為8可得a值，注意檢驗a的范圍；

解答： 解：（1）f′（x）=3ax²-6x+3，其判別式△=36-36a=36（1-a），
∵a≥1，∴△≤0，對任意實數(shù)，f′（x）≥0恒成立，
∴f（x）在（-∞，+∞）上是增函數(shù)．
（2）當a≥1時，由（1）可知，f（x）在（-∞，+∞）上是增函數(shù)，
∴f（x）在[1，3]的最大值為f（3），由f（3）=8，解得 a=

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（不符合，舍去）；
當0＜a＜1時，△=36-36a=36（1-a）＞0，方程3ax²-6x+3=0的兩根為x1=

1- 1-a

a

，x2=

1+ 1-a

a

，
f′（x）=3ax²-6x+3圖象的對稱軸x=

1

a

，
∵x₁-1=

1- 1-a

a

-1=

1-a ( 1-a -1)

a

＜0，∴0＜x1＜1＜

1

a

＜x2，
由x₂=3，解得 a=

5

9

，
①當0＜a＜

5

9

，x₂＞3，
∵f′（1）=3（a-1）＜0，f'（3）=3（9a-5）＜0，且f'（x）的圖象開口向上，
∴x∈[1，3]時，f′（x）＜0，f（x）在[1，3]是減函數(shù)，f（x）在[1，3]的最大值y_max=f（1），
由f（1）=8，解得 a=8（不符合，舍去）．
②當

5

9

≤a＜1，x₂≤3，x∈[1，x₂]，f′（x）＜0，f（x）在[1，x₂]是減函數(shù)，當x∈[x₂，3]時，f′（x）＞0，f（x）在[x₂，3]是增函數(shù)．
∴f（x）在[1，3]的最大值f（1）或f（3），
由f（1）=8，f（3）=8，解得 a=8（不符合，舍去），a=

26

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；
綜上所述a=

26

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．

點評：本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、求函數(shù)在閉區(qū)間上的最值等知識，考查分類討論思想，考查學生解決問題的能力，當區(qū)間確定，而極值點不定時，要按照極值點在區(qū)間內(nèi)、在區(qū)間外進行討論，以確定最值．