Question

在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)邊的長(zhǎng)為a，b，c．若tan

A+B

2

=sinC，則下列命題正確的是

 

．（寫出所有正確命題的序號(hào)）
①sin²A+sin²B=tanAtanB；  ②acosB+bcosA=c；  ③acosA=bcosB；
④acosB≤bcosA；   ⑤c＜a+b≤

2

c．

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：簡(jiǎn)易邏輯

分析：利用倍角公式和三角函數(shù)的基本關(guān)系式，再利用直角三角形的邊角關(guān)系即可得出．

解答： 解：∵tan

A+B

2

=sinC=sin（A+B），∴

sin A+B 2

cos A+B 2

=2sin

A+B

2

cos

A+B

2

，
又sin

A+B

2

≠0，cos

A+B

2

＞0，∴cos

A+B

2

=

2

2

，
∴

A+B

2

=

π

4

，∴A+B=

π

2

，因此C=

π

2

．
∴在Rt△ABC中，①sin²A+sin²B=1，tanAtanB=1，∴sin²A+sin²B=tanAtanB，正確；
②acosB+bcosA=a•

a

c

+b•

b

c

=

a2+b2

c

=c．因此正確．
③acosA=a•

b

c

，bcosB=b•

a

c

，即acosA=bcosB．
④acosB=

a2

c

，bcosA=

b2

c

，因此acosB與bcosA的大小關(guān)系不確定，因此不正確；
⑤a+b=ccosB+csinB=

2

csin(B+

π

4

)≤

2

c，又a+b＞c．
∴c＜a+b≤

2

c，正確．
綜上可知：只有①②③⑤正確．
故正確答案為：①②③⑤．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了倍角公式和三角函數(shù)的基本關(guān)系式、直角三角形的邊角關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能方法，屬于中檔題．