Question

設(shè)F₁、F₂分別為橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)．
（Ⅰ）若橢圓上的點(diǎn)A（1，

3

2

）到點(diǎn)F₁、F₂的距離之和等于4，求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)P是（Ⅰ）中所得橢圓C上的動點(diǎn)，求線段F₁P的中點(diǎn)M的軌跡方程．

Answer 1

考點(diǎn)：圓錐曲線的軌跡問題,軌跡方程

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（Ⅰ）若橢圓上的點(diǎn)A到點(diǎn)F₁、F₂的距離之和等于4，可求a，利用點(diǎn)A（1，

3

2

）在橢圓上，求出b，即可得到求橢圓C的方程；
（Ⅱ）點(diǎn)P是（Ⅰ）中所得橢圓C上的動點(diǎn)，確定P，M坐標(biāo)之間的關(guān)系，即可求線段F₁P的中點(diǎn)M的軌跡方程．

解答： 解：（Ⅰ）由橢圓上的點(diǎn)A到點(diǎn)F₁、F₂的距離之和是4，可得2a=4，即a=2．（1分）
又點(diǎn)A（1，

3

2

）在橢圓上，因此

1

22

+

( 3 2 )2

b2

=1，解得b²=3，于是c²=1…（2分）
所以橢圓C的方程為

x2

4

+

y2

3

=1…（3分）
（Ⅱ）設(shè)橢圓C上的動點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x₁，y₁），點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x，y）．
由（Ⅰ）知，點(diǎn)F₁的坐標(biāo)為（-1，0），則x=

-1+x1

2

，y=

y1

2

，即x₁=2x+1 y₁=2y…（5分）
因此

(2x+1)2

4

+

(2y)2

3

=1，即(x+

1

2

)2+

4y2

3

=1為所求的軌跡方程…（6分）

點(diǎn)評：本題考查橢圓的定義，考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查代入法求軌跡方程，確定坐標(biāo)之間的關(guān)系是關(guān)鍵．