Question

如圖是某市2月1日至14日的空氣質(zhì)量指數(shù)趨勢圖，空氣質(zhì)量指數(shù)（AQI）小于100表示空氣質(zhì)量優(yōu)良，空氣質(zhì)量指數(shù)大于200表示空氣重度污染，某人隨機選擇2月1日至2月12日中的某一天到達該市，并停留3天．
（1）求此人到達當日空氣質(zhì)量重度污染的概率；
（2）設(shè)ξ是此人停留期間空氣重度污染的天數(shù)，求ξ的分布列與數(shù)學期望．

Answer 1

考點：離散型隨機變量的期望與方差,等可能事件的概率

專題：概率與統(tǒng)計

分析：（1）設(shè)A_i表示事件“此人于2月i日到達該市”依題意知p（A_i）=

1

12

，設(shè)B為事件“此人到達當日空氣質(zhì)量重度污染”，則B=A₁∪A₂∪A₃∪A₇∪A₁₂，由此能求出此人到達當日空氣質(zhì)量重度污染的概率．
（2）由題意可知，ξ的所有可能取值為0，1，2，3，分別求出P（ξ=0），P（ξ=1），P（ξ=2），P（ξ=3），由此能求出ξ的分布列和ξ的期望．

解答： 解：（1）設(shè)A_i表示事件“此人于2月i日到達該市”（i=1，2，…，12）．
依題意知，p（A_i）=

1

12

，且A_i∩A_j=Φ（i≠j）．（2分）
設(shè)B為事件“此人到達當日空氣質(zhì)量重度污染”，
則B=A₁∪A₂∪A₃∪A₇∪A₁₂，
所以P（B）=（A₁∪A₂∪A₃∪A₇∪A₁₂）
=P（A₁）+P（A₂）+P（A₃）+P（A₇）+P（A₁₂）=

5

12

．
即此人到達當日空氣質(zhì)量重度污染的概率為

5

12

．（5分）
（2）由題意可知，ξ的所有可能取值為0，1，2，3，（6分）
P（ξ=0）=P（A₄∪A₈∪A₉）=P（A₄）+P（A₈）+P（A₉）=

1

4

，（7分）
P（ξ=2）=P（A₂∪A₁₁）=P（A₂）+P（A₁₁）=

1

6

，（8分）
P（ξ=3）=P（A₁∪A₁₂）=P（A₁）+P（A₁₂）=

1

6

，（9分）
P（ξ=1）=1-P（ξ=0）-P（ξ=2）-P（ξ=3）=1-

1

4

-

1

6

-

1

6

=

5

12

，（10分）
∴ξ的分布列為：

ξ	0	1	2	3
P	1 4	5 12	1 6	1 6

（11分）
故ξ的期望Eξ=0×

1

4

+1×

5

12

+2×

1

6

+3×

1

6

=

5

4

．（12分）

點評：本題考查概率的計算，考查離散型隨機變量的分布列和數(shù)學期望的求法，是中檔題，在歷年高考中都是必考題型．