【題目】如圖,四棱錐中,
,
,
,
為正三角形,且
.
(1)證明:直線平面
;
(2)若四棱錐的體積為
,
是線段
的中點,求直線
與平面
所成角的正弦值.
【答案】(1)證明見解析;(2).
【解析】
(1)證明,
,推出
平面
;
(2)以為原點,直線
、
分別為
軸,
軸,建立空間直角坐標系,求出各點的坐標,由(1)的結論知,
平面
,所以則向量
與向量
所成的角或其補角與直線
與平面
所成的角互余,計算結果即可.
(1),且
,
,
又為正三角形,所以
,
又,
,所以
,又
,
//
,
,
,所以
平面
.
(2)設點到平面
的距離為
,則
,依題可得
,以
為原點,直線
、
分別為
軸,
軸,建立空間直角坐標系,分別求出各點的坐標和向量
,由(1)可知
平面
,故向量
是平面
的一個法向量,則向量
與向量
所成的角或其補角與直線
與平面
所成的角互余.
則,
,
,
,則
,設
,
由,
,可得
,解得
,
,
即,
所以,又由(1)可知,
是平面
的一個法向量,
∴,
所以直線與平面
所成角的正弦值為
.
科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】一青蛙從點開始依次水平向右和豎直向上跳動,其落點坐標依次是
,(如圖,
的坐標以已知條件為準),
表示青蛙從點
到點
所經過的路程.
(1)點為拋物線
準線上一點,點
,
均在該拋物線上,并且直線
經過該拋物線的焦點,證明
;
(2)若點要么落在
所表示的曲線上,要么落在
所表示的曲線上,并且
,試寫出
(不需證明);
(3)若點要么落在
所表示的曲線上,要么落在
所表示的曲線上,并且
,求
的值.
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】日照一中為了落實“陽光運動一小時”活動,計劃在一塊直角三角形ABC的空地上修建一個占地面積為S的矩形AMPN健身場地.如圖,點M在AC上,點N在AB上,且P點在斜邊BC上,已知∠ACB=60°且|AC|=30米,|AM|=x米,x∈[10,20].
(1)試用x表示S,并求S的取值范圍;
(2)若在矩形AMPN以外(陰影部分)鋪上草坪.已知:矩形AMPN健身場地每平方米的造價為,草坪的每平方米的造價為
(k為正常數).設總造價T關于S的函數為T=f(S),試問:如何選取|AM|的長,才能使總造價T最低.
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】(文科)已知四棱錐的底面ABCD為直角梯形,
,
,
,
為正三角形.
(1)點M為棱AB上一點,若平面SDM,
,求實數λ的值;
(2)若,求四棱錐
的體積.
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】已知橢圓:
(
),過原點的兩條直線
和
分別與
交于點
、
和
、
,得到平行四邊形
.
(1)若,
,且
為正方形,求該正方形的面積
.
(2)若直線的方程為
,
和
關于
軸對稱,
上任意一點
到
和
的距離分別為
和
,證明:
.
(3)當為菱形,且圓
內切于菱形
時,求
,
滿足的關系式.
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】數列滿足
.
①存在可以生成的數列
是常數數列;
②“數列中存在某一項
”是“數列
為有窮數列”的充要條件;
③若為單調遞增數列,則
的取值范圍是
;
④只要,其中
,則
一定存在;
其中正確命題的序號為__________.
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