【題目】如圖，四棱錐
中，
，
，
，
為正三角形，且
.
（1）證明：直線
平面
；
（2）若四棱錐的體積為
，
是線段
的中點，求直線
與平面所成角的正弦值.
【答案】（1）證明見解析；（2）
.
【解析】
（1）證明
，
，推出
平面
；
（2）以
為原點，直線
、
分別為
軸，
軸，建立空間直角坐標系，求出各點的坐標，由（1）的結論知，平面，所以則向量
與向量
所成的角或其補角與直線
與平面所成的角互余，計算結果即可.
（1）
，且
，
，
又
為正三角形，所以
，
又
，
，所以，又，
//，
，
，所以平面.
（2）設點
到平面
的距離為
，則
，依題可得
，以為原點，直線、分別為軸，軸，建立空間直角坐標系，分別求出各點的坐標和向量，由（1）可知平面，故向量是平面的一個法向量，則向量與向量所成的角或其補角與直線與平面所成的角互余.
則
，
，
，
，則
，設
，
由，
，可得
，解得
，
，
即
，
所以
，又由（1）可知，
是平面的一個法向量，
∴
，
所以直線與平面所成角的正弦值為.
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】一青蛙從點
開始依次水平向右和豎直向上跳動，其落點坐標依次是
，(如圖，的坐標以已知條件為準)，
表示青蛙從點
到點
所經過的路程.
(1)點為拋物線
準線上一點，點
，
均在該拋物線上，并且直線經過該拋物線的焦點，證明
；
(2)若點
要么落在
所表示的曲線上，要么落在
所表示的曲線上，并且
,試寫出
(不需證明)；
(3)若點
要么落在
所表示的曲線上，要么落在
所表示的曲線上，并且
，求
的值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】日照一中為了落實“陽光運動一小時”活動，計劃在一塊直角三角形ABC的空地上修建一個占地面積為S的矩形AMPN健身場地．如圖，點M在AC上，點N在AB上，且P點在斜邊BC上，已知∠ACB=60°且|AC|=30米，|AM|=x米，x∈[10，20]．
（1）試用x表示S，并求S的取值范圍；
（2）若在矩形AMPN以外（陰影部分）鋪上草坪．已知：矩形AMPN健身場地每平方米的造價為
，草坪的每平方米的造價為
（k為正常數）．設總造價T關于S的函數為T=f（S），試問：如何選取|AM|的長，才能使總造價T最低．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】（文科）已知四棱錐
的底面ABCD為直角梯形，
，
，
，
為正三角形.
（1）點M為棱AB上一點，若
平面SDM，
，求實數λ的值；
（2）若
，求四棱錐的體積.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
：
（
），過原點的兩條直線
和
分別與交于點
、
和
、
，得到平行四邊形
.
（1）若
，
，且為正方形，求該正方形的面積
.
（2）若直線的方程為
，和關于
軸對稱，上任意一點
到和的距離分別為
和
，證明：
.
（3）當為菱形，且圓
內切于菱形時，求
，
滿足的關系式.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】數列
滿足
．
①存在
可以生成的數列是常數數列；
②“數列中存在某一項
”是“數列為有窮數列”的充要條件；
③若為單調遞增數列，則的取值范圍是
；
④只要
，其中
，則
一定存在；
其中正確命題的序號為__________.
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