Question

已知A（0，1），曲線C：y=log_ax恒過點(diǎn)B，若P是曲線C上的動(dòng)點(diǎn)，且

AB

•

AP

的最小值為2，則a=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,平面向量及應(yīng)用

分析：運(yùn)用對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象特點(diǎn)可得B（1，0），設(shè)P（x，log_ax），運(yùn)用向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示，可得f（x）=x-log_ax+1，再由導(dǎo)數(shù)，求得極值點(diǎn)即為最值點(diǎn)，對(duì)a討論，0＜a＜1，a＞1兩種情況，通過單調(diào)性即可判斷，并求得a=e．

解答： 解：曲線C：y=log_ax恒過點(diǎn)B，則令x=1，可得y=0，
即B（1，0），又點(diǎn)A（0，1），設(shè)P（x，log_ax），
則

AB

•

AP

=(1，-1)•(x，logax-1)=x-logax+1．
由于f（x）=x-log_ax+1在（0，+∞）上有最小值2，
且f（1）=2，故x=1是f（x）的極值點(diǎn)，即最小值點(diǎn)．
f′(x)=1-

1

xlna

=

xlna-1

xlna

，
若0＜a＜1，f'（x）＞0，f（x）單調(diào)增，在（0，+∞）無最小值，故a＞1，
設(shè)f'（x）=0，則x=log_ae．
當(dāng)x∈（0，log_ae）時(shí)，f'（x）＜0，當(dāng)x∈（log_ae，+∞）時(shí)，f'（x）＞0，
從而當(dāng)且僅當(dāng)x=log_ae時(shí)，f（x）取最小值，
所以log_ae=1，即有a=e．
故答案為：e．

點(diǎn)評(píng)：本題考查向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示，主要考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求極值和最值，運(yùn)用分類討論的思想和函數(shù)的單調(diào)性是解題的關(guān)鍵．