Question

【題目】如圖，在直三棱柱中，，，為中點(diǎn)，與交于點(diǎn)．

（1）求證：平面；

（2）求證：平面；

（3）求三棱錐的表面積．

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析；（3）.

【解析】試題分析：（1）證明：連結(jié)，可得為的中位線，可得，根據(jù)線面平行的判定定理可得平面；（2）在直三棱柱中，可證平面，從而可得，又，，即可證明平面；（3），分別利用三角形面積公式求出各三角形面積，求和即可得結(jié)果.

試題解析：（1）證明：連結(jié)，

∵直三棱柱，，

∴四邊形為正方形，

∴為中點(diǎn)，

∵為中點(diǎn)，

∴，

∵平面，平面，

∴平面．

（2）證明：方法1，∵直三棱柱，

∴，

又∵，，

∴平面，

∵平面，

∴，

∵正方形，

∴，

又∵，

∴平面．

方法2：∵直三棱柱，

∴平面平面，

∵平面平面，，

∵平面，

∵平面，

∴，

∵正方形，

∴，

又∵，

∴平面．

（3）

．

【方法點(diǎn)晴】本題主要考查線面平行的判定定理、線面垂直的判定定理、利用等積變換求三棱錐體積，屬于難題.證明線面平行的常用方法：①利用線面平行的判定定理，使用這個(gè)定理的關(guān)鍵是設(shè)法在平面內(nèi)找到一條與已知直線平行的直線，可利用幾何體的特征，合理利用中位線定理、線面平行的性質(zhì)或者構(gòu)造平行四邊形、尋找比例式證明兩直線平行.②利用面面平行的性質(zhì)，即兩平面平行，在其中一平面內(nèi)的直線平行于另一平面. 本題（1）是就是利用方法①證明的.