Question

【題目】設(shè)均為大于1的整數(shù).證明：存在個不被整除的整數(shù)，若將它們?nèi)我夥殖蓛山M，則總有一組有若干個數(shù)的和被整除.

Answer 1

【答案】見解析

【解析】

先考慮為2的冪的情形.

設(shè).則.取3個及個1，顯然，這些數(shù)均不被整除.將這個數(shù)任意分成兩組，則總有一組中含2個，其和為且被整除.

設(shè)不是2的冪，取個數(shù)為.

因為不是2的冪，所以，上述個數(shù)均不被整除.

若可將這些數(shù)分成兩組，使得每一組中任意若干個數(shù)的和均不被整除.不妨設(shè)1在第一組，由被整除，故兩個必須在第二組；又被整除，故2在第一組，進而，推出在第二組.

現(xiàn)歸納假設(shè)均在第一組，而均在第二組.

由被整除，故在第一組，從而，在第二組.

故由數(shù)學歸納法，知在第一組，在第二組.

最后，由于被整除，故在第一組.因此，均在第一組.由正整數(shù)的二進制表示，知每一個不超過的正整數(shù)均可表示為中若干個數(shù)的和，特別地，因為，所以，第一組中有若干個數(shù)的和為，當然被整除，矛盾.

因此，將前述個整數(shù)任意分成兩組，總有一組中有若干個數(shù)之和被整除.