Question

已知二次函數(shù)f（x）=ax²+bx且f（2）=0，方程f（x）-1=0有兩個相等的實數(shù)根．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）用定義證明f（x）在[1，+∞）上是減函數(shù)；
（3）當(dāng)x∈[-

1

2

，

3

2

]時，利用圖象求f（x）的最大值和最小值．

Answer 1

考點：函數(shù)解析式的求解及常用方法,二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)條件f（2）=0，方程f（x）-1=0有兩個相等的實數(shù)根，建立等式，求解a，b的值即可；
（2）直接根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義證明為減函數(shù)即可；
（3）作出該函數(shù)在x∈[-

1

2

，

3

2

]上的圖象，然后，根據(jù)圖象得到最大值和最小值．

解答： 解：（1）∵函數(shù)f（x）=ax²+bx，
∴f（2）=4a+2b=0，①
∵方程f（x）-1=0，得
ax²+bx-1=0有兩個相等的實數(shù)根．
∴△=b²+4a=0 ②，
聯(lián)立①②，解得
∴a=-1或a=0（舍），
∴b=2，
∴f（x）=-x²+2x，
∴函數(shù)f（x）的解析式：f（x）=-x²+2x．
（2）任設(shè)x₁，x₂∈[1，+∞），且x₁＜x₂，
則f（x₁）-f（x₂）=-x₁ ²+2x₁+x₂²-2x₂，
=（x₂-x₁）[2-（x₁+x₂）]，
∵1≤x₁≤x₂，
∴x₂-x₁＞0，x₁+x₂＞2，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，
∴f（x）在[1，+∞）上是減函數(shù)；
（3）如圖示：

當(dāng)x=1時，函數(shù)有最大值1，
當(dāng)x=-

1

2

時，函數(shù)有最小值-

5

4

．

點評：本題重點考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、數(shù)形結(jié)合思想等知識．屬于中檔題．考查比較綜合，高考中對二次函數(shù)的考查力度有所加大，希望引起足夠的重視．