Question

【題目】如圖，在四棱錐中，底面是邊長(zhǎng)為的正方形，側(cè)面

底面，且， 、分別為、的中點(diǎn).

（1）求證： 平面；

（2）求證：面平面；

（3）在線段上是否存在點(diǎn)，使得二面角的余弦值為？說明理由.

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析；（3）線段上存在點(diǎn)，使得二面角的余弦值為.

【解析】試題分析：（Ⅰ）連接AC，則F是AC的中點(diǎn)，E為PC 的中點(diǎn)，證明EF∥PA，留言在線與平面平行的判定定理證明EF∥平面PAD；

（Ⅱ）先證明CD⊥PA，然后證明PA⊥PD．利用直線與平面垂直的判定定理證明PA⊥平面PCD，最后根據(jù)面面垂直的判定定理即可得到面PAB⊥面PDC．

（Ⅲ）假設(shè)在線段AB上，存在點(diǎn)G，使得二面角C-PD-G的余弦值為，然后以O為原點(diǎn)，直線OA，OF，OP分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)G（1，a，0）（0≤a≤2）．利用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算求出a值，即可得出結(jié)論．

試題解析：

（Ⅰ）證明：連結(jié)AC，由已知，F為AC的中點(diǎn)， 為中點(diǎn)．∴在中， //

且平面， 平面∴

（Ⅱ）證明：因?yàn)槠矫?/span>平面， 平面面

為正方形， ， 平面

所以平面．

∴

又，所以是等腰直角三角形， 且，即．

，且、面

面

又面， ∴面面

（Ⅲ）如圖，

取的中點(diǎn)，連結(jié)， ．

∵，∴．

∵側(cè)面底面，

，

∴，

而分別為的中點(diǎn)，

∴，又是正方形，故．

∵，∴， ．

以為原點(diǎn)，直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，

則有， ， ．

若在上存在點(diǎn)使得二面角的余弦值為，連結(jié)

設(shè)．

由（Ⅱ）知平面的法向量為．

設(shè)平面的法向量為．∵，

∴由可得，令，則，

故∴，解得， ． 所以在線段上存在點(diǎn)，使得二面角的余弦值為，此時(shí)．