Question

【題目】如圖，菱形ABCD與正三角形BCE的邊長均為2，它們所在平面互相垂直，F(xiàn)D⊥平面ABCD，且 ．

（1）若∠BCD=60°，求證：BC⊥EF；
（2）若∠CBA=60°，求直線AF與平面FBE所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：如圖，過點(diǎn)E作EH⊥BC于H，連接HD，∴EH= ．

∵平面ABCD⊥平面BCE，EH平面BCE，平面ABCD∩平面BCE=BC，

∴EH⊥平面ABCD．

又∵FD⊥平面ABCD，F(xiàn)D= ，∴FD∥EH，且FD=EH．

∴四邊形EHDF為平行四邊形，

∴EF∥HD，

在等邊三角形BCD中，BC⊥DH，則BC⊥EF

（2）解：連接HA，由（1），得H為BC中點(diǎn)，又∠CBA=60°，△ABC為等邊三角形，

∴HA⊥BC，分別以HB，HA，HE為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系H﹣xyz．

則B（1，0，0），F(xiàn)（﹣2， ， ），E（0，0， ），A（0， ，0），

=（﹣3， ， ）， =（﹣1， ，0）， =（﹣1，0， ）， =（﹣2，0， ），

設(shè)平面EBF的法向量為 =（x，y，z），

由 令z=1，

得 =（ ，2，1），∴直線AF與平面EBF所成角的正弦值為| |= ．

【解析】（1）過點(diǎn)E作EH⊥BC于H，連接HD，證明四邊形EHDF為平行四邊形，可得EF∥HD，即可證明BC⊥EF；（2）若∠CBA=60°，建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面EBF的法向量，即可求直線AF與平面FBE所成角的正弦值．
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的空間中直線與直線之間的位置關(guān)系和空間角的異面直線所成的角，需要了解相交直線：同一平面內(nèi)，有且只有一個公共點(diǎn)；平行直線：同一平面內(nèi)，沒有公共點(diǎn)；異面直線： 不同在任何一個平面內(nèi)，沒有公共點(diǎn)；已知為兩異面直線，A，C與B，D分別是上的任意兩點(diǎn)，所成的角為，則才能得出正確答案．