Question

【題目】已知函數(shù)f(x)＝x2＋ax＋b，g(x)＝ex(cx＋d)，若曲線y＝f(x)和曲線y＝g(x)都過點P(0，2)，且在點P處有相同的切線y＝4x＋2．

(1)求a，b，c，d的值；

(2)若x≥－2時，恒有f(x)≤kg(x)，求k的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）因為曲線y＝f(x)和曲線y＝g(x)都過點P(0，2)，所以b=d=2；因為，故； ，故，故；所以， ；

（2）令，則，由題設可得，故，令得，

（1）若，則，從而當時， ，當時，即在上最小值為，此時f(x)≤kg(x)恒成立；

（2）若， ，故在上單調(diào)遞增，因為所以f(x)≤kg(x)恒成立

（3）若，則，故f(x)≤kg(x)不恒成立；

綜上所述k的取值范圍為.

【解析】試題分析：（1）先求導,根據(jù)題意,由導數(shù)的幾何意義可知,從而可求得的值．（2） 由（1）知， ,令,即證時．先將函數(shù)求導,討論導數(shù)的正負得函數(shù)的增減區(qū)間,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求其最值．使其最小值大于等于0即可．

試題解析：（1）由已知得，

而，

（4分）

（2）由（1）知， ，

設函數(shù)，

．

由題設可得，即，

令得, ．．（6分）

①若，則，∴當時，

，當時， ，即F（x）在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，故在取最小值，

而．

∴當時， ，即恒成立． ．（8分）

②若，則，

∴當時， ，∴在單調(diào)遞增，

而，∴當時， ，即恒成立，

③若，則，

∴當時， 不可能恒成立． ．（10分）

綜上所述， 的取值范圍為．（12分）