Question

【題目】如圖所示， 矩形所在的平面， 分別是的中點(diǎn).

（1）求證： 平面；

（2）求證： .

（3）當(dāng)滿足什么條件時(shí)，能使平面成立？并證明你的結(jié)論.

Answer 1

【答案】(1)見(jiàn)解析；(2)見(jiàn)解析；（3）當(dāng)滿足時(shí)，能使平面成立.證明見(jiàn)解析。

【解析】試題分析：（1）取的中點(diǎn)，連結(jié)，證明四邊形是平行四邊形，可得，利用線面平行的判定，即可得出結(jié)論；（2）由線面垂直得，由矩形性質(zhì)得，由線面垂直的判定定理可得平面，由此能證明；（3）當(dāng)滿足時(shí)，能使平面成立，可利用等腰三角形的性質(zhì)以及線面垂直的判定定理證明.

試題解析：（ ）證明：取的中點(diǎn)，連接， ．

∵， 分別是， 中點(diǎn)，

∴，

又∵， 是中點(diǎn)，

∴，

∴,

∴四邊形是平行四邊形，

∴．

∵平面， 平面，

∴平面．

（）∵平面，

∴，

又，

∴平面，

∴，

又∵

∴．

（）當(dāng)滿足時(shí)，能使平面成立，

現(xiàn)證明如下：

∵， 是中點(diǎn)，

∴．

∵，

∴．

由（）可知，

∴平面．

故當(dāng)滿足時(shí)，能使平面成立．

【方法點(diǎn)晴】本題主要考查線面平行的判定定理、直線和平面垂直的性質(zhì)定理與判定定理，屬于難題. 證明線面平行的常用方法：①利用線面平行的判定定理，使用這個(gè)定理的關(guān)鍵是設(shè)法在平面內(nèi)找到一條與已知直線平行的直線，可利用幾何體的特征，合理利用中位線定理、線面平行的性質(zhì)或者構(gòu)造平行四邊形、尋找比例式證明兩直線平行.②利用面面平行的性質(zhì)，即兩平面平行，在其中一平面內(nèi)的直線平行于另一平面. 本題（1）是就是利用方法①證明的.