【題目】已知.

（1）當(dāng)為何值時, 最小? 此時與的位置關(guān)系如何?

（2）當(dāng)為何值時, 與的夾角最小? 此時與的位置關(guān)系如何?

【答案】（1） 當(dāng)時, 最小, ；（2）時, 與的夾角最小, 與平行.

【解析】試題分析：（1）由向量的坐標(biāo)運算,可將表示成關(guān)于的二次函數(shù),利用二次函數(shù)的最值求得何時求最小值.由求得,進一步可得兩者位置關(guān)系；（2）由的坐標(biāo)運算,轉(zhuǎn)化為關(guān)于的表達式,由夾角最小時,余弦值最大為,可得關(guān)于的方程,解得,再求得此時與的坐標(biāo),可判斷兩者的位置關(guān)系.

試題解析：

（1）,

當(dāng)時, 最小,此時,, ∴

∴當(dāng)時, 最小,此時.

（2）設(shè)與的夾角為,則,

要與的夾角最小,則最大, ∵,故的最大值為,此時,

,解之得,.

∴時, 與的夾角最小, 此時與平行.

練習(xí)冊系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】以下莖葉圖記錄了甲，乙兩組各四名同學(xué)的植樹棵數(shù).乙組記錄中有一個數(shù)據(jù)模糊，無法確認(rèn)，在圖中以表示.

（1）如果，求乙組同學(xué)植樹棵數(shù)的平均數(shù)和方差；

（2）如果，分別從甲，乙兩組中隨機選取一名同學(xué)，求這兩名同學(xué)的植樹總棵數(shù)為19的概率.（注：方差，其中為， ，……， 的平均數(shù)）

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【題目】在一次水下考古活動中，某一潛水員需潛水米到水底進行考古作業(yè).其用氧量包含一下三個方面：①下潛平均速度為米/分鐘，每分鐘用氧量為升；②水底作業(yè)時間范圍是最少分鐘最多分鐘，每分鐘用氧量為升；③返回水面時，平均速度為米/分鐘，每分鐘用氧量為升.潛水員在此次考古活動中的總用氧量為升.

（1）如果水底作業(yè)時間是分鐘，將表示為的函數(shù)；

（2）若，水底作業(yè)時間為分鐘，求總用氧量的取值范圍；

（3）若潛水員攜帶氧氣升，請問潛水員最多在水下多少分鐘（結(jié)果取整數(shù)）？

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【題目】（文科）（本小題滿分12分）某高校從參加今年自主招生考試的學(xué)生中隨機抽取容量為50的學(xué)生成績樣本，得頻率分布表如下：

組號

分組

頻數(shù)

頻率

第一組

[230，235)

8

0.16

第二組

[235，240)

①

0.24

第三組

[240，245)

15

②

第四組

[245，250)

10

0.20

第五組

[250，255]

5

0.10

合 計

50

1.00

（1）寫出表中①②位置的數(shù)據(jù)；

（2）為了選拔出更優(yōu)秀的學(xué)生，高校決定在第三、四、五組中用分層抽樣法抽取6名學(xué)生進行第二輪考核，分別求第三、四、五各組參加考核人數(shù)；

（3）在（2）的前提下，高校決定在這6名學(xué)生中錄取2名學(xué)生，求2人中至少有1名是第四組的概率．

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【題目】已知函數(shù).

（1）若， 都是從0，1，2，3，4五個數(shù)中任取的一個數(shù)，求上述函數(shù)有零點的概率；

（2）若， 都是從區(qū)間上任取的一個數(shù)，求成立的概率.

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【題目】已知函數(shù).

（I）求函數(shù)在上的最值；

（II）已知函數(shù)，求證：，恒成立.

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【題目】如圖已知是邊長為的正方形的中心，點分別是的中點，沿對角線把正方形折成二面角.

（1）證明：四面體的外接球的體積為定值，并求出定值；

（2）若二面角為直二面角，求二面角的余弦值.

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【題目】設(shè)銳角三角形的內(nèi)角的對邊分別為，且.

（1）求的大小；

（2）求的取值范圍.

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【題目】某游樂場推出了一項趣味活動，參加活動者需轉(zhuǎn)動如圖所示的轉(zhuǎn)盤兩次，每次轉(zhuǎn)動后，待轉(zhuǎn)盤停止轉(zhuǎn)動時，記錄指針?biāo)竻^(qū)域中的數(shù).設(shè)兩次記錄的數(shù)分別為，獎勵規(guī)則如下：①若，則獎勵玩具一個；②若，則獎勵水杯一個；③其余情況獎勵飲料一瓶.假設(shè)轉(zhuǎn)盤質(zhì)地均勻，四個區(qū)域劃分均勻，小亮準(zhǔn)備參加此項活動.

（1）求小亮獲得玩具的概率；

（2）請比較小亮獲得水杯與獲得飲料的概率的大小，并說明理由.

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