Question

【題目】2019年7曰1日至3日，世界新能源汽車(chē)大會(huì)在海南博鰲召開(kāi)，大會(huì)著眼于全球汽車(chē)產(chǎn)業(yè)的轉(zhuǎn)型升級(jí)和生態(tài)環(huán)境的持續(xù)改善.某汽車(chē)公司順應(yīng)時(shí)代潮流，最新研發(fā)了一款新能源汽車(chē)，并在出廠前對(duì)100輛汽車(chē)進(jìn)行了單次最大續(xù)航里程（理論上是指新能源汽車(chē)所裝載的燃料或電池所能夠提供給車(chē)行駛的最遠(yuǎn)里程）的測(cè)試.現(xiàn)對(duì)測(cè)試數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，得到如下的頻率分布直方圖：

（1）估計(jì)這100輛汽車(chē)的單次最大續(xù)航里程的平均值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代表）.

（2）根據(jù)大量的汽車(chē)測(cè)試數(shù)據(jù)，可以認(rèn)為這款汽車(chē)的單次最大續(xù)航里程近似地服從正態(tài)分布，經(jīng)計(jì)算第（1）問(wèn)中樣本標(biāo)準(zhǔn)差的近似值為50.用樣本平均數(shù)作為的近似值，用樣本標(biāo)準(zhǔn)差作為的估計(jì)值，現(xiàn)任取一輛汽車(chē)，求它的單次最大續(xù)航里程恰在250千米到400千米之間的概率.

參考數(shù)據(jù)：若隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布，則，，.

（3）某汽車(chē)銷(xiāo)售公司為推廣此款新能源汽車(chē)，現(xiàn)面向意向客戶推出“玩游戲，送大獎(jiǎng)”活動(dòng)，客戶可根據(jù)拋擲硬幣的結(jié)果，操控微型遙控車(chē)在方格圖上行進(jìn)，若遙控車(chē)最終停在“勝利大本營(yíng)”，則可獲得購(gòu)車(chē)優(yōu)惠券.已知硬幣出現(xiàn)正、反面的概率都是，方格圖上標(biāo)有第0格、第1格、第2格、…、第50格.遙控車(chē)開(kāi)始在第0格，客戶每擲一次硬幣，遙控車(chē)車(chē)向前移動(dòng)一次，若擲出正面，遙控車(chē)向前移動(dòng)一格（從到），若擲出反面，遙控車(chē)向前移動(dòng)兩格（從到），直到遙控車(chē)移到第49格（勝利大本營(yíng)）或第50格（失敗大本營(yíng)）時(shí)，游戲結(jié)束，設(shè)遙控車(chē)移到第n格的概率為，試說(shuō)明是等比數(shù)列，并解釋此方案能否成功吸引顧客購(gòu)買(mǎi)該款新能源汽車(chē).

Answer 1

【答案】（1）（千米）（2）（3）說(shuō)明詳見(jiàn)解析，此方案能夠成功吸引顧客購(gòu)買(mǎi)該款新能源汽車(chē)

【解析】

（1）利用頻率分布直方圖的平均數(shù)的計(jì)算方法即可得出．

（2）由，．利用正態(tài)分布的對(duì)稱性可得．

（3）遙控車(chē)開(kāi)始在第0 格為必然事件，．第一次擲硬幣出現(xiàn)正面，遙控車(chē)移到第一格，其概率為，即．遙控車(chē)移到第格的情況是下面兩種，而且只有兩種：①遙控車(chē)先到第格，又?jǐn)S出反面，其概率為．②遙控車(chē)先到第格，又?jǐn)S出正面，其概率為．可得：．變形為．即可證明時(shí)，數(shù)列是等比數(shù)列，首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列．利用，及其求和公式即可得出．可得獲勝的概率，失敗的概率．進(jìn)而得出結(jié)論．

解：（1）

（千米）．

（2）由，．

．

（3）遙控車(chē)開(kāi)始在第0 格為必然事件，．第一次擲硬幣出現(xiàn)正面，遙控車(chē)移到第一格，其概率為，即．

遙控車(chē)移到第格的情況是下面兩種，而且只有兩種：

①遙控車(chē)先到第格，又?jǐn)S出反面，其概率為．

②遙控車(chē)先到第格，又?jǐn)S出正面，其概率為．

．

．

時(shí)，數(shù)列是等比數(shù)列，首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列．

，，，，．

，1，，．

獲勝的概率，

失敗的概率．

．

獲勝的概率大．

此方案能成功吸引顧客購(gòu)買(mǎi)該款新能源汽車(chē)．