Question

13．直線l：A（x-2）+B（y+3）+C=0交圓M：（x-2）²+（y+3）²=$\frac{4}{3}$于P，Q兩點，且A²+B²=3C²，則$\overrightarrow{MP}$•$\overrightarrow{MQ}$=（　�。�

• A． -$\frac{1}{3}$
• B． -$\frac{2}{3}$
• C． -1
• D． -$\frac{4}{3}$

Answer 1

分析 先求出M到直線PQ的距離，可得PQ，利用余弦定理求出cos∠PMQ，再利用向量的數(shù)量積公式求出$\overrightarrow{MP}$•$\overrightarrow{MQ}$．

解答 解：直線l：A（x-2）+B（y+3）+C=0可化為Ax+By-2A+3B+C=0，
∴M到直線PQ的距離d=$\frac{|C|}{\sqrt{{A}^{2}+{B}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∵圓的半徑為$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴PQ=2$\sqrt{\frac{4}{3}-\frac{1}{3}}$=2，
∴cos∠PMQ=$\frac{\frac{4}{3}+\frac{4}{3}-4}{2•\frac{4}{3}}$=-$\frac{1}{2}$，
∴$\overrightarrow{MP}$•$\overrightarrow{MQ}$=$\frac{4}{3}•（-\frac{1}{2}）$=-$\frac{2}{3}$，
故選：B．

點評 本題考查直線與圓的位置關系，考查余弦定理、向量的數(shù)量積公式，考查學生的計算能力，屬于中檔題．