Question

5．討論函數(shù)f（x）=x+$\frac{1}{x-1}$在（1，+∞）的單調(diào)性，并求最小值．

Answer 1

分析 根據(jù)單調(diào)性的定義，設(shè)任意的x₁＞x₂＞1，然后作差，提取公因式x₁-x₂，便得到$f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）=（{x}_{1}-{x}_{2}）[1-\frac{1}{（{x}_{1}-1）（{x}_{2}-1）}]$，x₁-x₂的符號可以確定，而要判斷$1-\frac{1}{（{x}_{1}-1）（{x}_{2}-1）}$的符號，可以看出分x₁，x₂∈（1，2），和x₁，x₂∈（2，+∞）這兩個區(qū)間去判斷，這樣便可判斷出f（x₁）與f（x₂）的大小關(guān)系，從而判斷出f（x）的單調(diào)性，并且可以求出f（x）的最小值．

解答 解：設(shè)x₁＞x₂＞1，則：
$f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）={x}_{1}+\frac{1}{{x}_{1}-1}-{x}_{2}-\frac{1}{{x}_{2}-1}$=$（{x}_{1}-{x}_{2}）[1-\frac{1}{（{x}_{1}-1）（{x}_{2}-1）}]$；
∵x₁＞x₂＞1；
∴x₁-x₂＞0；
∴①x₁，x₂∈（1，2）時，0＜x₁-1＜1，0＜x₂-1＜1；
∴$1-\frac{1}{（{x}_{1}-1）（{x}_{2}-1）}＜0$；
∴f（x₁）＜f（x₂）；
∴f（x）在（1，2）上單調(diào)遞減；
②x₁，x₂∈（2，+∞）時，x₁-1＞1，x₂-1＞1；
∴$1-\frac{1}{（{x}_{1}-1）（{x}_{2}-1）}＞0$；
∴f（x₁）＞f（x₂）；
∴f（x）在[2，+∞）上單調(diào)遞增；
∴x=2時，f（x）取最小值3．

點評 考查函數(shù)單調(diào)性的定義，以及根據(jù)單調(diào)性的定義討論一個函數(shù)單調(diào)性的方法和過程，作差的方法比較f（x₁）與f（x₂），作差后一般需提取公因式x₁-x₂，并且是分式的要通分，根據(jù)單調(diào)性求函數(shù)的最小值．