Question

【題目】已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且點(diǎn)在函數(shù)的圖像上；

（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（2）設(shè)數(shù)列滿足：，，求的通項(xiàng)公式；

（3）在第（2）問的條件下，若對(duì)于任意的，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

Answer 1

【答案】（1）（2）當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，；當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，.（3）

【解析】

（1）根據(jù),討論與兩種情況,即可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式;

（2）由（1）利用遞推公式及累加法,即可求得當(dāng)n為奇數(shù)或偶數(shù)時(shí)的通項(xiàng)公式.也可利用數(shù)學(xué)歸納法,先猜想出通項(xiàng)公式,再用數(shù)學(xué)歸納法證明.

（3）分類討論,當(dāng)n為奇數(shù)或偶數(shù)時(shí),分別求得的最大值,即可求得的取值范圍.

（1）由題意可知,.

當(dāng)時(shí),,

當(dāng)時(shí),也滿足上式.

所以.

（2）解法一：由（1）可知,

即.

當(dāng)時(shí),,①

當(dāng)時(shí),,所以,②

當(dāng)時(shí),,③

當(dāng)時(shí),,所以,④

……

當(dāng)時(shí),n為偶數(shù)

當(dāng)時(shí),n為偶數(shù)所以

以上個(gè)式子相加,得

.

又,所以當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),.

同理,當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),

,

所以,當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),.

解法二：

猜測(cè)：當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),

.

猜測(cè)：當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),

.

以下用數(shù)學(xué)歸納法證明：

,命題成立；

假設(shè)當(dāng)時(shí),命題成立；

當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),,

當(dāng)時(shí),n為偶數(shù),由得

故,時(shí),命題也成立.

綜上可知, 當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)

同理,當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),命題仍成立.

（3）由（2）可知.

①當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),,

所以隨n的增大而減小從而當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),的最大值是.

②當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),,

所以隨n的增大而增大,且.

綜上,的最大值是1.

因此,若對(duì)于任意的,不等式恒成立,只需,

故實(shí)數(shù)的取值范圍是.