Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，動(dòng)點(diǎn)在拋物線上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)在軸上的射影為，動(dòng)點(diǎn)滿足.

求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；

過(guò)點(diǎn)作互相垂直的直線，，分別交曲線于點(diǎn)，和，，記，的面積分別為，，問(wèn)：是否為定值？若為定值，求出該定值；若不為定值，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】；為定值，.

【解析】

設(shè)點(diǎn)，，點(diǎn)代入到拋物線中，由，列出相應(yīng)方程組，求出，進(jìn)而求出動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；

由知曲線為拋物線，點(diǎn)為拋物線的焦點(diǎn)，分類討論當(dāng)直線的斜率為或不存在時(shí)和當(dāng)直線的斜率存在且不為時(shí)的情況，結(jié)合韋達(dá)定理和點(diǎn)到直線的距離公式判斷出為定值，定值為.

解：設(shè)點(diǎn)，，

則，且，

由，得，

即，代入，

得，即.

所以曲線的方程為.

由知曲線為拋物線，點(diǎn)為拋物線的焦點(diǎn)，

當(dāng)直線的斜率為或不存在時(shí)，均不適合題意.

當(dāng)直線的斜率存在且不為時(shí)，

設(shè)直線，與聯(lián)立消得，.

由得，且，

設(shè)，，

則，.

所以.

原點(diǎn)到直線的距離，

所以.

同理可求得.

所以.

所以.

因此為定值.