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【題目】已知函數

1)若直線與曲線恒相切于同一定點,求的方程;

2)當時, ,求實數的取值范圍.

【答案】1;(2.

【解析】試題分析:(1)由題意得,直線與曲線恒相切于同一定點,由,得曲線恒過的定點為,再由導數的幾何意義可得切線的方程;(2)構造函數,二次求導,再分別對進行討論: , , ,綜合取交集即可.

試題解析:(1)因為直線與曲線恒相切于同一定點,

所以曲線必恒過定點,

,令,得,

故得曲線恒過的定點為.

因為,所以切線的斜率,

故切線的方程為,即.

(2)令,

.

,

.

①當時,因為

所以上單調遞增,故,

因為當時, ,

所以上單調遞增,故.

從而,當時, 恒成立.

②當時,

因為上單調遞增,所以,

故與①同理,可得當時, 恒成立.

③當時, 上單調遞增,

所以當時, 內取得最小值.

因為,

所以,

前述說明在內,存在唯一的,使得,且當時, ,

上單調遞減,

所以當時, ,

所以上單調遞減,

此時存在,使得,不符合題設要求.

綜上①②③所述,得的取值范圍是.

說明:③也可以按以下方式解答:

時, 上單調遞增,

所以當時, 內取得最小值

時, ,所以,

故存在,使得,且當時,

下同前述③的解答.

練習冊系列答案
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