【題目】設(shè)關(guān)于x的不等式|x﹣2|<a(a∈R)的解集為A,且 ∈A,﹣ A.
(1)對任意的x∈R,|x﹣1|+|x﹣3|≥a2+a恒成立,且a∈N,求a的值.
(2)若a+b=1,a,b∈R+ , 求 + 的最小值,并指出取得最小值時a的值.
【答案】
(1)解:關(guān)于x的不等式|x﹣2|<a(a∈R)的解集為A,且 ∈A,﹣ A,
則a>| ﹣2|且a≤|﹣ ﹣2|,即有 <a≤ ,①
x∈R,|x﹣1|+|x﹣3|≥|(x﹣1)﹣(x﹣3)|=2,即有
|x﹣1|+|x﹣3|的最小值為2,
x∈R,|x﹣1|+|x﹣3|≥a2+a恒成立,即有
a2+a≤2,解得﹣2≤a≤1,②
由①②可得 <a≤1,
由a∈N,則a=1
(2)解:若a+b=1,a>0,b>0,
則 + = + = +( + )
≥ +2 = ,
當且僅當 = ,即a= ∈( , ],b= 時,
取得最小值,且為
【解析】(1)由 ∈A,﹣ A可得 <a≤ ,再由絕對值不等式的性質(zhì)可得|x﹣1|+|x﹣3|的最小值為2,結(jié)合恒成立思想,可得a2+a≤2,解出不等式,求交集,再由a∈N,即可得到a;(2)由條件可得 + = + ,運用基本不等式求出最小值,同時求出取等號的a的值.
【考點精析】通過靈活運用基本不等式在最值問題中的應(yīng)用和絕對值不等式的解法,掌握用基本不等式求最值時(積定和最小,和定積最大),要注意滿足三個條件“一正、二定、三相等”;含絕對值不等式的解法:定義法、平方法、同解變形法,其同解定理有;規(guī)律:關(guān)鍵是去掉絕對值的符號即可以解答此題.
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【題目】設(shè)函數(shù)f(x)=2x3+3ax2+3bx+8在x=1及x=2時取得極值.
(1)求a,b的值;
(2)求曲線f(x)在x=0處的切線方程.
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【題目】如圖,在四棱錐P﹣ABCD中,底面ABCD為正方形,平面PAD⊥平面ABCD,點M在線段PB上,PD∥平面MAC,PA=PD= ,AB=4.
(1)求證:M為PB的中點;
(2)求二面角B﹣PD﹣A的大;
(3)求直線MC與平面BDP所成角的正弦值.
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【題目】已知函數(shù)f(x)對任意實數(shù)x,y恒有f(x)=f(y)+f(x﹣y),當x>0時,f(x)<0,且f(2)=﹣3.
(1)求f(0),并判斷函數(shù)f(x)的奇偶性;
(2)證明:函數(shù)f(x)在R上的單調(diào)遞減;
(3)若不等式f(2x﹣3)﹣f(﹣22x)<f(k2x)+6在區(qū)間(﹣2,2)內(nèi)恒成立,求實數(shù)k的取值范圍.
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【題目】甲、乙兩家商場對同一種商品開展促銷活動,對購買該商品的顧客兩家商場的獎勵方案如下:
甲商場:顧客轉(zhuǎn)動如圖所示圓盤,當指針指向陰影部分(圖中兩個陰影部分均為扇形,且每個扇形圓心角均為,邊界忽略不計)即為中獎·
乙商場:從裝有2個白球、2個藍球和2個紅球的盒子中一次性摸出1球(這些球除顏色外完全相同),它是紅球的概率是,若從盒子中一次性摸出2球,且摸到的是2個相同顏色的球,即為中獎.
(Ⅰ)求實數(shù)的值;
(Ⅱ)試問:購買該商品的顧客在哪家商場中獎的可能性大?請說明理由.
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【題目】解答題。
(1)已知集合A={x|ax2﹣3x+1=0,a∈R},若A中只有一個元素,求a的取值范圍.
(2)集合A={x|x2﹣6x+5<0},C={x|3a﹣2<x<4a﹣3},若CA,求a的取值范圍.
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【題目】已知函數(shù)f (x)= .
(1)求f(x)的定義域;
(2)判斷函數(shù)f(x)在(1,+∞)上的單調(diào)性,并加以證明.
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【題目】對某商店一個月內(nèi)每天的顧客人數(shù)進行統(tǒng)計,得到樣本的莖葉圖(如圖所示).則該樣本的中位數(shù)、眾數(shù)、極差分別是( )
A.46 45 56
B.46 45 53
C.47 45 56
D.45 47 53
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