Question

【題目】已知分別是橢圓的左右焦點(diǎn).

（Ⅰ）若是第一象限內(nèi)該橢圓上的一點(diǎn)， ,求點(diǎn)的坐標(biāo).

（Ⅱ）若直線(xiàn)與圓相切，交橢圓于兩點(diǎn)，是否存在這樣的直線(xiàn)，使得？

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）不存在.

【解析】

（Ⅰ）由橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程得到焦點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)，利用以及點(diǎn)P在橢圓上，聯(lián)立方程組，求出P點(diǎn)坐標(biāo)。

（Ⅱ）設(shè)直線(xiàn)的方程為，由圓心到直線(xiàn)的距離為，得出，直線(xiàn)的方程與橢圓方程聯(lián)立，整理得，，由韋達(dá)定理求出、，由與的關(guān)系求出，代入，進(jìn)而得出，即可得出不存在這樣的直線(xiàn)，使得

解（Ⅰ）因?yàn)闄E圓方程為，知

，設(shè)，

則

又，聯(lián)立

解得，

（Ⅱ）不存在這樣的直線(xiàn)，使得

設(shè)

①若的斜率不存在時(shí)，，代入橢圓方程得，

容易得出，此時(shí)不成立

②若的斜率存在時(shí)，設(shè)

則由已知可得，即

由

則

要，則,

即

即，又，

，

從而，此方程無(wú)實(shí)解，此時(shí)不成立,

綜上，不存在這樣的直線(xiàn)，使得