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【題目】已知函數.

（1）討論在上的單調性；

（2）令，當時，證明：對，使.

【答案】（1）見解析；（2）見證明

【解析】

（1）由題意可得，分類討論時，和三種情況確定函數的單調性即可；

（2）此時原題目等價于.由函數f(x)的解析式可得,結合函數g(x)的性質證明即可證得題中的結論.

（1）

當時，由于，所以恒成立，在為增函數；

當時，①若恒成立，在上為減函數；

②若，令，得在上為增函數，上為減函數.

綜上：當時，在上為增函數；

當時，在上為增函數，在上為減函數；

當時，在上為減函數.

（2）此時原題目等價于.

當時，，由（1）知在上為增函數，在上為減函數，,

令 .令，得，

在上恒成立，在上單調遞增，即在上單調遞增.

當時， ，

由于存在，使，即，

在單調遞減，在單調遞增，

，

令 恒成立，在上為減函數

，從而命題得證.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】某公司為了解廣告投入對銷售收益的影響，在若干地區(qū)各投入萬元廣告費用，并將各地的銷售收益繪制成頻率分布直方圖(如圖所示).由于工作人員操作失誤，橫軸的數據丟失，但可以確定橫軸是從開始計數的. [附：回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為.]

（1）根據頻率分布直方圖計算圖中各小長方形的寬度;

（2）試估計該公司投入萬元廣告費用之后，對應銷售收益的平均值(以各組的區(qū)間中點值代表該組的取值);

（3）該公司按照類似的研究方法,測得另外一些數據,并整理得到下表:

廣告投入 (單位:萬元)

1

2

3

4

5

銷售收益 (單位:萬元)

2

3

2

7

由表中的數據顯示, 與之間存在著線性相關關系,請將（2）的結果填入空白欄,并求出關于的回歸直線方程.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】如圖，已知正方體的棱長為1．

正方體中哪些棱所在的直線與直線是異面直線？

若M，N分別是 ，的中點，求異面直線MN與BC所成角的大�。�

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知橢圓的左右焦點為，是橢圓上半部分的動點，連接和長軸的左右兩個端點所得兩直線交正半軸于兩點（點在的上方或重合）．

（1）當面積最大時，求橢圓的方程；

（2）當時，在軸上是否存在點使得為定值，若存在，求點的坐標，若不存在，說明理由．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】（多選題）下列說法正確的是（ ）

A.橢圓1上任意一點（非左右頂點）與左右頂點連線的斜率乘積為

B.過雙曲線1焦點的弦中最短弦長為

C.拋物線y2＝2px上兩點A（x1，y1）．B（x2，y2），則弦AB經過拋物線焦點的充要條件為x1x2

D.若直線與圓錐曲線有一個公共點，則該直線和圓錐曲線相切

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】某中學2018年的高考考生人數是2015年高考考生人數的倍，為了更好地對比該�？忌纳龑W情況，統(tǒng)計了該校2015年和2018年的高考情況，得到如圖柱狀圖：

則下列結論正確的是　　

A. 與2015年相比，2018年一本達線人數減少

B. 與2015年相比，2018年二本達線人數增加了倍

C. 2015年與2018年藝體達線人數相同

D. 與2015年相比，2018年不上線的人數有所增加

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】某大學為調研學生在， 兩家餐廳用餐的滿意度，從在， 兩家餐廳都用過餐的學生中隨機抽取了100人，每人分別對這兩家餐廳進行評分，滿分均為60分.

整理評分數據，將分數以10為組距分成6組： ， ， ， ， ， ，得到餐廳分數的頻率分布直方圖，和餐廳分數的頻數分布表：

定義學生對餐廳評價的“滿意度指數”如下：

分數

滿意度指數

（Ⅰ）在抽樣的100人中，求對餐廳評價“滿意度指數”為0的人數；

（Ⅱ）從該校在， 兩家餐廳都用過餐的學生中隨機抽取1人進行調查，試估計其對餐廳評價的“滿意度指數”比對餐廳評價的“滿意度指數”高的概率；

（Ⅲ）如果從， 兩家餐廳中選擇一家用餐，你會選擇哪一家？說明理由.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知雙曲線C：（a＞0，b＞0）的離心率為，且

（1）求雙曲線C的方程；

（2）已知直線與雙曲線C交于不同的兩點A，B且線段AB的中點在圓上，求m的值

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【題目】某班50名學生在一次百米測試中，成績全部介于13秒與18秒之間，將測試結果按如下方式分成五組：第一組，第二組，，第五組.下圖是按上述分組方法得到的頻率分布直方圖.按上述分組方法得到的頻率分布直方圖.

（1）若成績大于或等于14秒且小于16秒認為良好，求該班在這次百米測試中成績良好的人數；

（2）設m,n表示該班某兩位同學的百米測試成績，且已知求事件“”發(fā)生的概率.

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