Question

【題目】如圖，在五面體中，，，，，.

（1）證明：平面；

（2）若，，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）.

【解析】

(1)根據(jù)平行的傳遞性可得,再取中點(diǎn)為,連接,進(jìn)而可得四邊形為平行四邊形,再根據(jù)勾股定理證明,進(jìn)而得到平面.

(2) 以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以、的方向?yàn)?/span>軸、軸的正方向,建立空間直角坐標(biāo)系,再分別求解平面的法向量與平面的法向量,進(jìn)而求得二面角的余弦值即可.

（1）證明：因?yàn)?/span>,,

所以.

取中點(diǎn)為,連接,所以,

因?yàn)?/span>,,所以且,

所以四邊形為平行四邊形,所以,且.

因?yàn)?/span>,,

所以,所以,

因?yàn)?/span>,所以.

因?yàn)?/span>,所以平面.

（2）由（1）知,平面,

因?yàn)?/span>,所以平面.

故以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以、的方向?yàn)?/span>軸、

軸的正方向,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.

所以

所以,

設(shè)平面的法向量為,

則,

所以,

取,則,

設(shè)平面的法向量為,因?yàn)?/span>,

所以,

所以,

取,則,

所以,

所以二面角的余弦值為.