Question

【題目】已知橢圓C：的離心率，左、右焦點(diǎn)分別為，拋物線的焦點(diǎn)F恰好是該橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)．

(1)求橢圓C的方程；

(2)已知圓M：的切線與橢圓相交于A、B兩點(diǎn)，那么以AB為直徑的圓是否經(jīng)過定點(diǎn)？如果是，求出定點(diǎn)的坐標(biāo)；如果不是，請(qǐng)說明理由，

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析

【解析】

(1)根據(jù)拋物線的方程確定橢圓的頂點(diǎn)，結(jié)合離心率可得a、b的值，進(jìn)而求得橢圓的方程；

（2）首先利用特殊情況確定點(diǎn)的坐標(biāo)，然后根據(jù)直線和圓、橢圓的位置關(guān)系驗(yàn)證以AB為直徑的圓是否過定點(diǎn).

（1）因?yàn)闄E圓的離心率，所以，即．

因?yàn)閽佄锞�的焦點(diǎn)恰好是該橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)，

所以，所以．所以橢圓的方程為．

（2）（i）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)．

因?yàn)橹本�與圓相切，故其中的一條切線方程為．

由，不妨設(shè)，，

則以為直徑的圓的方程為．

（ii）當(dāng)直線的斜率為零時(shí)．

因?yàn)橹本�與圓相切，所以其中的一條切線方程為．

由，不妨設(shè)，，

則以為直徑的圓的方程為．

顯然以上兩圓都經(jīng)過點(diǎn)．

（iii）當(dāng)直線的斜率存在且不為零時(shí)．

設(shè)直線的方程為．

由消去，得，

所以設(shè)，，則，．

所以．

所以．①

因?yàn)橹本�和圓相切，所以圓心到直線的距離，

整理，得， ②

將②代入①，得，顯然以為直徑的圓經(jīng)過定點(diǎn)，

綜上可知，以為直徑的圓過定點(diǎn)．