【題目】已知橢圓的離心率為,過右焦點(diǎn)作兩條互相垂直的直線,分別交橢圓四點(diǎn).設(shè)的中點(diǎn)為.

(1)求橢圓的方程;

(2)直線是否經(jīng)過定點(diǎn)?若是,求出定點(diǎn)坐標(biāo);若否,請說明理由.

【答案】1;(2)直線經(jīng)過定點(diǎn),定點(diǎn)坐標(biāo)為,理由見解析.

【解析】

1)根據(jù)題意確定出ce的值,利用離心率公式求出a的值,進(jìn)而求出b的值,代入橢圓方程得答案;

2)由直線ABCD斜率存在,設(shè)為k,表示出AB方程,設(shè)出AB坐標(biāo),進(jìn)而表示出M的坐標(biāo),聯(lián)立直線AB與橢圓方程,消去y得關(guān)于x的一元二次方程,利用韋達(dá)定理表示出M,同理表示N,根據(jù)M,N的橫坐標(biāo)相同求出k的值,得到此時MN斜率不存在,直線恒過定點(diǎn);若直線MN斜率存在,表示MN的斜率,進(jìn)而表示直線MN的方程,令,求出x的值,得到直線MN恒過定點(diǎn);顯然直線ABCD斜率不存在,也成立,綜上,得到直線MN恒過定點(diǎn),求出坐標(biāo)即可.

1)因?yàn)闄E圓的右焦點(diǎn),所以,

又離心率,所以,即

故橢圓的方程為

2)當(dāng)直線ABCD斜率存在時

設(shè)直線AB方程為:,再設(shè)

則有中點(diǎn)

聯(lián)立方程,消去y得:

由韋達(dá)定理得: ,所以M的坐標(biāo)為

將上式中的k換成,同理可得N的坐標(biāo)為

,即,

此時直線MN斜率不存在,直線過定點(diǎn) ;

當(dāng)時,即直線MN斜率存在,則

直線MN

,得

此時直線MN過定點(diǎn)

顯然當(dāng)直線ABCD斜率不存在時,直線MN就是x軸,也會過

綜上所述:直線經(jīng)過定點(diǎn),定點(diǎn)坐標(biāo)為

練習(xí)冊系列答案
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(I)求拋物線方程;

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年份x

2014

2015

2016

2017

2018

足球特色學(xué)校y(百個)

0.30

0.60

1.00

1.40

1.70

1)根據(jù)上表數(shù)據(jù),計(jì)算yx的相關(guān)系數(shù)r,并說明yx的線性相關(guān)性強(qiáng)弱.

(已知:,則認(rèn)為yx線性相關(guān)性很強(qiáng);,則認(rèn)為yx線性相關(guān)性一般;,則認(rèn)為yx線性相關(guān)性較):

2)求y關(guān)于x的線性回歸方程,并預(yù)測A地區(qū)2020年足球特色學(xué)校的個數(shù)(精確到個).

參考公式和數(shù)據(jù):,

,

.

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【題目】已知橢圓C的離心率,左、右焦點(diǎn)分別為,拋物線的焦點(diǎn)F恰好是該橢圓的一個頂點(diǎn).

(1)求橢圓C的方程;

(2)已知圓M的切線與橢圓相交于A、B兩點(diǎn),那么以AB為直徑的圓是否經(jīng)過定點(diǎn)?如果是,求出定點(diǎn)的坐標(biāo);如果不是,請說明理由,

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1)求的值,并根據(jù)樣本數(shù)據(jù),估計(jì)盒子中小球重量的眾數(shù)與平均數(shù)(精確到0.01);

2)從盒子中裝的大量小球中,隨機(jī)抽取3個小球,其中重量在內(nèi)的小球個數(shù)為,求的分布列和數(shù)學(xué)期望.

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