Question

一款擊鼓小游戲的規(guī)則如下：每盤游戲都需要擊鼓三次，每次擊鼓要么出現(xiàn)一次音樂，要么不出現(xiàn)音樂：每盤游戲擊鼓三次后，出現(xiàn)一次音樂獲得10分，出現(xiàn)兩次音樂獲得20分，出現(xiàn)三次音樂獲得100分，沒有出現(xiàn)音樂則扣除200分（即獲得-200分）．設(shè)每次擊鼓出現(xiàn)音樂的概率為

1

2

，且各次擊鼓出現(xiàn)音樂相互獨(dú)立．
（1）設(shè)每盤游戲獲得的分?jǐn)?shù)為X，求X的分布列；
（2）玩三盤游戲，至少有一盤出現(xiàn)音樂的概率是多少？
（3）玩過這款游戲的許多人都發(fā)現(xiàn)．若干盤游戲后，與最初分?jǐn)?shù)相比，分?jǐn)?shù)沒有增加反而減少了．請(qǐng)運(yùn)用概率統(tǒng)計(jì)的相關(guān)知識(shí)分析分?jǐn)?shù)減少的原因．

Answer 1

考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量及其分布列,離散型隨機(jī)變量的期望與方差

專題：概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（1）設(shè)每盤游戲獲得的分?jǐn)?shù)為X，求出對(duì)應(yīng)的概率，即可求X的分布列；
（2）求出有一盤出現(xiàn)音樂的概率，獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率公式即可得到結(jié)論．
（3）計(jì)算出隨機(jī)變量的期望，根據(jù)統(tǒng)計(jì)與概率的知識(shí)進(jìn)行分析即可．

解答： 解：（1）X可能取值有-200，10，20，100．
則P（X=-200）=

C

0 3

(

1

2

)0(1-

1

2

)3=

1

8

，
P（X=10）=

C

1 3

(

1

2

)1•(1-

1

2

)2=

3

8

P（X=20）=

C

2 3

(

1

2

)2(1-

1

2

)1=

3

8

，
P（X=100）=

C

3 3

(

1

2

)3=

1

8

，
故分布列為：

X	-200	10	20	100
P	1 8	3 8	3 8	1 8

由（1）知，每盤游戲出現(xiàn)音樂的概率是p=

3

8

+

3

8

+

1

8

=

7

8

，
則至少有一盤出現(xiàn)音樂的概率p=1-

C

0 3

(

7

8

)0(1-

7

8

)3=

511

512

．
由（1）知，每盤游戲或得的分?jǐn)?shù)為X的數(shù)學(xué)期望是E（X）=（-200）×

1

8

+10×

3

8

+20×

3

8

+

1

8

×100=-

10

8

=-

5

4

．
這說明每盤游戲平均得分是負(fù)分，由概率統(tǒng)計(jì)的相關(guān)知識(shí)可知：許多人經(jīng)過若干盤游戲后，入最初的分?jǐn)?shù)相比，分?jǐn)?shù)沒有增加反而會(huì)減少．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查概率的計(jì)算，以及離散型分布列的計(jì)算，以及利用期望的計(jì)算，考查學(xué)生的計(jì)算能力．