Question

【題目】已知函數(shù)

（1）若，且在上單調(diào)遞增，求實數(shù)的取值范圍

（2）是否存在實數(shù)，使得函數(shù)在上的最小值為？若存在，求出實數(shù)的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】試題分析：（1）求導(dǎo)，將函數(shù)的單調(diào)性轉(zhuǎn)化為導(dǎo)函數(shù)非負(fù)恒成立進行求解；（2）先假設(shè)存在這樣的實數(shù)，則在時恒成立，求導(dǎo)，通過導(dǎo)函數(shù)的符號變換討論函數(shù)的單調(diào)性，再合理構(gòu)造函數(shù)進行求解.

試題解析：（1）

由已知在時恒成立，即恒成立

分離參數(shù)得，

因為

所以

所以正實數(shù)的取值范圍為：

（2）假設(shè)存在這樣的實數(shù)，則在時恒成立，且可以取到等號

故，即

從而這樣的實數(shù)必須為正實數(shù)，當(dāng)時，由上面的討論知在上遞增，，此時不合題意，故這樣的必須滿足，此時：

令得的增區(qū)間為

令得的減區(qū)間為

故

整理得

即，設(shè)，

則上式即為，構(gòu)造，則等價于

由于為增函數(shù)，為減函數(shù)，故為增函數(shù)

觀察知，故等價于，與之對應(yīng)的

綜上符合條件的實數(shù)是存在的，且