Question

已知

a

=（sin2x，-y），

b

=（m，-m+cos2x）（m∈R），且

a

+

b

=

0

，設(shè)y=f（x）．
（I）求y=f（x）的表達(dá)式，并求其對(duì)稱中心M的坐標(biāo)；
（II）若對(duì)?x∈[0，

π

2

]，f（x）＞t+1恒成立，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算,三角函數(shù)的最值

專題：三角函數(shù)的求值

分析：（I）根據(jù)

a

+

b

=

0

可得

sin2x+m=0 -y-m+cos2x=0

，然后消去m可得y=f（x）的表達(dá)式，求出其對(duì)稱中性M的坐標(biāo)即可；
（II）對(duì)?x∈[0，

π

2

]，f（x）＞t+1恒成立，只需f（x）_min＞t+1即可，然后研究f（x）的最小值即可求出t的取值范圍．

解答： 解：（I）由

a

+

b

=

0

，得（sin2x+m，-y-m+cos2x）=（0，0）
即

sin2x+m=0 -y-m+cos2x=0

消去m得y=sin2x+cos2x=

2

sin（2x+

π

4

）
令sin（2x+

π

4

）=0，解得2x+

π

4

=kπ，即x=

1

2

kπ-

π

8

∴對(duì)稱中心為（

1

2

kπ-

π

8

，0）k∈Z
（II）只需f（x）_min＞t+1即可
由（1）可知f（x）=

2

sin（2x+

π

4

）
∵x∈[0，

π

2

]∴2x+

π

4

∈[

π

4

，

5π

4

]
∴-

2

2

≤sin（2x+

π

4

）≤1
∴f（x）_min=

2

×（-

2

2

）=-1
則-1＞t+1，即t＜-2

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用，以及三角函數(shù)的最值，同時(shí)考查了運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題．