Question

已知f(x)=loga

1+x

1-x

(a＞0，a≠1)．
（Ⅰ）求f（x）的定義域；             
（Ⅱ）判斷f（x）的奇偶性并予以證明；
（Ⅲ）寫出f（x）的單調(diào)區(qū)間．（不必證明）

Answer 1

考點(diǎn)：奇偶性與單調(diào)性的綜合,函數(shù)的定義域及其求法

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（I）根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的真數(shù)部分必為正，構(gòu)造不等式，可求出函數(shù)的定義域；
（II）由已知中函數(shù)解析式，求出f（-x）的解析式，并根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，判斷出f（-x）與f（x）的關(guān)系，進(jìn)而根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義，判斷出函數(shù)為奇函數(shù)；
（III）根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性與底數(shù)的關(guān)系及復(fù)合函數(shù)同增異減的原則，可得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．

解答： 解：（Ⅰ）由對(duì)數(shù)函數(shù)的定義知

1+x

1-x

＞0
解得-1＜x＜1
故f （x）的定義域?yàn)椋?1，1）…（4分）
（Ⅱ）∵f(x)=loga

1+x

1-x

∴f(-x)=loga

1-x

1+x

=-loga

1+x

1-x

=-f(x)，
∴f （x）為奇函數(shù)…（8分）
（Ⅲ）故當(dāng)a＞1時(shí)，f（x）在區(qū)間（-1，1）單調(diào)遞增；
當(dāng)0＜a＜1時(shí)，f（x）在區(qū)間（-1，1）單調(diào)遞減．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)的定義域，函數(shù)的奇偶性，函數(shù)的單調(diào)性，熟練掌握對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．