Question

【題目】如圖，在三棱柱中， 底面， ， ， ， 是棱上一點(diǎn)．

（I）求證： ．

（II）若， 分別是， 的中點(diǎn)，求證： 平面．

（III）若二面角的大小為，求線段的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）見解析（3）

【解析】試題分析：（1）先證明面可得；（2）連接交于點(diǎn)，根據(jù)幾何知識可得可得，根據(jù)線面平行的判定定理可得平面；（3）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量，通過計(jì)算求的長。

試題解析：（I）∵平面， 面，

∴．

∵， ，

∴中， ，

∴．

∵，

∴面．

∵面，

∴．

（II）連接交于點(diǎn)．

∵四邊形是平行四邊形，

∴是的中點(diǎn)．

又∵， 分別是， 的中點(diǎn)，

∴，且，

∴四邊形是平行四邊形，

∴．

又平面， 面，

∴平面．

（III）∵，且平面，

∴， ， 兩兩垂直。

以為原點(diǎn)， ， ， 分別為軸， 軸， 軸建立空間直角坐標(biāo)系．

設(shè)，則， ， ， ，

∴， ， ．

設(shè)平面的法向量為，

故， ，

則有，令，則，

又平面的法向量為．

∵二面角的大小為，

∴，

解得，即，

，

∴．