已知拋物線y2=4x上兩個動點B，C和點A（1，2），且∠BAC=90°．求證：動直線BC必過定點．
考點：拋物線的簡單性質(zhì)
專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程
分析：設(shè)出拋物線上的點B（
a2
4
，a），C（
b2
4
，b），由∠BAC=90°借助于向量數(shù)量積等于0得到a，b的關(guān)系，由兩點式求出BC所在直線的斜率，寫出BC的點斜式方程，與a，b的關(guān)系式結(jié)合后由直線系方程得答案．
解答： 證明：設(shè)B（
a2
4
，a），C（
b2
4
，b），而A（1，2），
∴
AB
=(
a2
4
-1，a-2)，
AC
=(
b2
4
-1，b-2)，
由于∠BAC=90°，得向量
AB
⊥
AC
，
AB
•
AC
=0．
即（
a2
4
-1，a-2）•（
b2
4
-1，b-2）=0．
整理得ab+2a+2b+20=0．
而過BC的直線的斜率為：
a-b
a2
4
-
b2
4
=
4
a+b
．
∴過BC的直線方程為y-b=
4
a+b
(x-
b2
4
)，
整理得4x+ab-（a+b）y=0，即4x-（a+b）y-2a-2b-20=0．
化為4x-20-（a+b）（y+2）=0．可得直線恒過定點（5，-2）．
∴直線必過定點（5，-2）
點評：本題考查了拋物線的簡單幾何性質(zhì)，考查了直線系方程的運用，是中檔題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知f（x）=x3+3x2-3mx+4有極大值5．
（1）求m；
（2）求過原點切線方程．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，求邊長為1的正五邊形的對角線圍成的正五邊形的邊長．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知x、y之間的一組數(shù)據(jù)：
x0134
y2.24.3b6.7
y與x之間的線性回歸方程
y
=0.95x+2.6過定點（2，4.5），則表中的b是
 
．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知f（x）的定義域為[0，1]，則函數(shù)y=f（x2）及f（2x）+f（x+
2
3
）的定義域是
 
．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

將函數(shù)y=sin（2x+
π
6
）的圖象向左平移
π
6
個單位，所得函數(shù)的解析式為
 
．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）在R上滿足f（1+x）=2f（1-x）-x2+3x+1，則曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程是（　　）
A、3x-y-2=0
B、3x+y-2=0
C、x-y+1=0
D、x-y-2=0

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)命題p：若y=f（x）為單調(diào)增函數(shù)，則y=f（ax）（a＞0，a≠1）也是單調(diào)增函數(shù)．命題q：存在實數(shù)a，使關(guān)于x的方程x2+2x+loga
3
2
=0的解集是空集，當(dāng)p或q有且只有一個正確時，求實數(shù)a的取值范圍．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)y=x-4+
9
x+1
（x＞-1），當(dāng)x=a時，y取得最小值b，則a+b=
 
．

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案