Question

已知直角三角形ABC的斜邊長(zhǎng)AB=2，現(xiàn)以斜邊AB為軸旋轉(zhuǎn)一周，得旋轉(zhuǎn)體．
（1）當(dāng)∠A=30°時(shí)，求此旋轉(zhuǎn)體的體積；
（2）當(dāng)∠A=45°時(shí)，求旋轉(zhuǎn)體表面積．

Answer 1

考點(diǎn)：旋轉(zhuǎn)體（圓柱、圓錐、圓臺(tái)）

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：以斜邊AB為軸旋轉(zhuǎn)一周，得旋轉(zhuǎn)體為兩個(gè)底面相同的圓錐相加所得的組合體；
（1）旋轉(zhuǎn)體的體積等于以C到AB的距離CO為半徑，兩圓錐高之和為AB，進(jìn)而得到此旋轉(zhuǎn)體的體積；
（2）旋轉(zhuǎn)體的表面積，是兩個(gè)圓錐側(cè)面積之和，求出兩個(gè)圓錐母線的長(zhǎng)，即直角三角形兩直角邊長(zhǎng)，代入可得旋轉(zhuǎn)體表面積．

解答： 解：（1）∵AB=2，∠A=30°，CB=1，CA=

3

，
過(guò)C作AB垂線交AB于O，則CO=

3

2

，
∴此旋轉(zhuǎn)體的體積V=

1

3

π•CO2•AB=

π

2

，
（2）當(dāng)∠A=45°，
AC=BC=

2

，
其表面積S=πr(AC+BC)=π•

2

2

•(

2

+

2

)=2π．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是旋轉(zhuǎn)體的體積和表面積，其中分析出幾何體的形狀及底面半徑和母線長(zhǎng)等幾何量是解答的關(guān)鍵．