Question

定義在[1，4]上的函數(shù)f（x）=x²-（2b-1）x+

b

4

．
（1）b=2時(shí)，求函數(shù)的最值；
（2）若函數(shù)f（x）是單調(diào)函數(shù)，求b的取值范圍；
（3）若b=5時(shí)，判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性，并用定義證明．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值,函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）b=2時(shí)，函數(shù)f（x）=(x-

3

2

)2-

7

4

，再由x∈[1，4]，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求得函數(shù)的最值，可得函數(shù)的值域．
（2）由題意可得

2b-1

2

≤1，或

2b-1

2

≥4，求得b的范圍．
（3）由條件利用二次函數(shù)的性質(zhì)可得函數(shù)f（x）在[1，4]上是減函數(shù)，再利用函數(shù)的單調(diào)性的定義進(jìn)行證明．

解答： 解：（1）b=2時(shí)，函數(shù)f（x）=x²-3x+

1

2

=(x-

3

2

)2-

7

4

，再由x∈[1，4]，
可得當(dāng)x=

3

2

時(shí)，函數(shù)取得最小值為-

7

4

，當(dāng)x=4時(shí)，函數(shù)取得最大值為

9

2

，
故答案為：[-

7

4

，

9

2

]．
（2）若函數(shù)f（x）在[1，4]上是單調(diào)函數(shù)，且圖象的對(duì)稱軸方程為x=

2b-1

2

，
則有

2b-1

2

≤1，或

2b-1

2

≥4，
求得b≤

3

2

，或b≥

9

2

．
（3）∵b=5時(shí)，函數(shù)f（x）=x²-9x+

5

4

，它的圖象的對(duì)稱軸方程為x=

9

2

＞4，
故函數(shù)f（x）在[1，4]上是減函數(shù)．
證明：設(shè)1≤x₁＜x₂≤4，則f（x₁）-f（x₂）=x12-x22+9x₂-9x₁=（x₁-x₂）（x₁+x₂-9），
由題設(shè)1≤x₁＜x₂≤4可得（x₁-x₂）＜0，（x₁+x₂-9）＜0，∴（x₁-x₂）（x₁+x₂-9）＞0，
∴f（x₁）＞f（x₂），故函數(shù)f（x）在[1，4]上是減函數(shù)．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查求二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，二次函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，函數(shù)的單調(diào)性的定義，屬于基礎(chǔ)題．