Question

身高各不相同的2名男生和4名女生排成一列，回答下列各題（用數(shù)字作答）：
（1）男生不排頭尾的排法有多少種？
（2）男生相鄰且不排頭尾的排法有多少種？
（3）女生由排頭到排尾從高到矮的排法有多少種？
（4）2個男生都不與女生甲相鄰的排法有多少種？

Answer 1

考點：排列、組合的實際應(yīng)用

專題：常規(guī)題型,概率與統(tǒng)計

分析：（1）用分步計數(shù)原理分析，先將4名女生排成一列，再利用除去頭尾后的空位數(shù)目，分析可得第一、二名男生的排法數(shù)目，由分步計數(shù)原理計算可得答案；
（2）用分步計數(shù)原理分析，①、先將4名女生排成一列，②、由于男生相鄰，用捆綁法將其視為一個元素，易得其排法數(shù)目，由分步計數(shù)原理計算可得答案；
（3）用分步計數(shù)原理分析，再利用除去頭尾后的空位數(shù)目，分析可得第一、二名男生的排法數(shù)目，由分步計數(shù)原理計算可得答案；
（4）分2種情況討論：①、若女生甲排在頭尾，有2種情況，②、若女生甲不排在頭尾，分別求出每種情況下2個男生都不與女生甲相鄰的排法，由分類加法原理計算可得答案．

解答： 解：（1）分3步分析，
①、先將4名女生排成一列，有A₄⁴=24種排法，
②、除去頭尾后有3個空位可選，第一名男生有3種排法，
③、此時除去頭尾后有4個空位可選，第二名男生有4種排法，
則男生不排頭尾的排法有24×3×4=288種；
（2）分2步分析，
①、先將4名女生排成一列，有A₄⁴=24種排法，
②、除去頭尾后有3個空位可選，考慮2名男生的順序，有3A₂²=6種排法，
男生相鄰且不排頭尾的排法有24×6=144種；
（3）分3步分析，
①、先將4名女生由排頭到排尾從高到矮排成一列，有1種情況，
②、排好后有5個空位，第一名男生有5種排法，
③、排好后有6個空位可選，第二名男生有6種排法，
則女生由排頭到排尾從高到矮的排法有5×6=30種；
（4）分2種情況討論：
①、若女生甲排在頭尾，有2種情況，
需要從3名女生中任選1人與甲相鄰，將2人視為一個元素，有3種不同選法，
剩余4人排成一列，有A₄⁴=24種排法，
此時共有2×3×24=144種不同排法，
②、若女生甲不排在頭尾，
需要從從3名女生中任選2人與甲相鄰，有A₂²C₃²=6種情況，
將3人視為1個元素，與其他3人全排列，有A₄⁴=24種情況，
此時共有6×24=144種不同排法，
則2個男生都不與女生甲相鄰的排法有144+144=288種．

點評：本題主要考查排列組合的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵在于正確分析題意，合理進行分類或分步討論，在運用加法原理與乘法原理進行計算．