Question

在△ABC中，∠B=

π

3

．
（Ⅰ）求sinA+sinC的取值范圍；
（Ⅱ）若∠A為銳角，求f（A）=sinA+cosA+2sinAcosA的最大值并求出此時(shí)角A的大�。�

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)的最值

專題：三角函數(shù)的求值

分析：（Ⅰ）由題意可得C=

2π

3

-A，化簡(jiǎn)sinA+sinC為

3

sin（A+

π

6

）．根據(jù) 

π

6

＜A+

π

6

＜

5π

6

，利用正弦函數(shù)的定義域和值域求得sinA+sinC的取值范圍．
（Ⅱ）令t=sinA+cosA=

2

sin(A+

π

4

)，由A∈(0，

π

2

)，可得t∈(1，

2

]，y=t²+t-1，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)求得y的最大值以及此時(shí)的t值，可得y的最大值以及此時(shí)角A的值

解答： 解：（Ⅰ）由題意可得C=

2π

3

-A 且0＜A＜

2π

3

，
所以sinA+sinC=sinA+sin（

2π

3

-A）=

3

2

sinA+

3

2

cosA=

3

sin（A+

π

6

）．
∵

π

6

＜A+

π

6

＜

5π

6

，∴

1

2

＜sin（A+

π

6

）≤1，
∴sinA+sinC的取值范圍（

3

2

，

3

]，
（Ⅱ）令t=sinA+cosA=

2

sin(A+

π

4

)，由A∈(0，

π

2

)得A+

π

4

∈(

π

4

，

3π

4

)，
所以t∈(1，

2

]，則2sinAcosA=t²-1，于是y=t²+t-1，
所以當(dāng)t=

2

時(shí)，ymax=1+

2

，此時(shí)A=

π

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查三角恒等變換，正弦函數(shù)的定義域和值域，二次函數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．