Question

已知直線l：y=kx+1，圓C：（x-1）²+（y+1）²=9．
（1）試證明：不論k為何實(shí)數(shù)，直線l和圓C總有兩個(gè)交點(diǎn)；
（2）當(dāng)k取何值時(shí)，直線l被圓C截得的弦長最短，并求出最短弦的長．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓的位置關(guān)系

專題：直線與圓

分析：（1）把直線方程和圓的方程聯(lián)立消去y，得關(guān)于x的一元二次方程，有2個(gè)交點(diǎn)，△＞0；
（2）由直線過定點(diǎn)（0，1），當(dāng)定點(diǎn)（0，1）為弦的中點(diǎn)時(shí)，所截得的弦最短．

解答： 解：（1）方法1：由

y=kx+1 (x-1)2+(y+1)2=9 ⇒(k2+1)x2-(2-4k)x-7=0

∵△=（2-4k）²+28（k²+1）＞0
∴不論k為何實(shí)數(shù)，直線l和圓C總有兩個(gè)交點(diǎn)．
方法2：圓心C（1，-1）到直線l的距離d=

|k+2|

1+k2

，圓C的半徑R=3，
而d2-R2=

k2+4k+4

1+k2

-9=

-(k-2)2-7k2-1

1+k2

＜0，即d＜R，
∴不論k為何實(shí)數(shù)，直線l和圓C總有兩個(gè)交點(diǎn)．
方法3：不論k為何實(shí)數(shù)，直線l總過點(diǎn)A（0，1），而|AC|=

5

＜R，
∴點(diǎn)A（0，1）在圓C的內(nèi)部，即不論k為何實(shí)數(shù)，直線l總經(jīng)過圓C內(nèi)部的定點(diǎn)A．
∴不論k為何實(shí)數(shù)，直線l和圓C總有兩個(gè)交點(diǎn)．
（2）當(dāng)定點(diǎn)（0，1）為弦的中點(diǎn)時(shí)，所截得的弦最短，此時(shí)

1-(-1)

0-1

•k=-1 故k=

1

2

，此時(shí)圓心到直線的距離d=

5

，弦長=2

9-5

=4

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查直線與圓的位置關(guān)系的判斷和弦長最短問題，屬于中檔題．