【題目】如圖，在正四棱柱中，，，，，是棱的中點，平面與直線相交于點.

（1）證明：直線平面.

（2）求二面角的正弦值.

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】

（1）推導(dǎo)出，，設(shè)點為的中點，連結(jié)，，推導(dǎo)出平面，平面，從而平面平面，由此能證明平面．

（2）以為原點，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出二面角的正弦值．

解：（1）證明：平面平面，

平面平面，平面平面，

，由題意得，

設(shè)點為的中點，連結(jié)，，

是棱的中點，，

平面，平面，平面，

，，，

平面，平面，平面，

，平面平面，

平面，平面．

（2）解：，，如圖，以為原點，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

，0，，，1，，，0，， 1，，

，1，，，1，，，0，，

設(shè)平面的法向量，，，

則，取，得，，，

設(shè)平面的法向量，，，

則，取，得，1，，

設(shè)二面角的平面角為，

由，

，

二面角的正弦值為．

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知三棱柱中，，，點為的中點，.

（1）求證：平面；

（2）條件①：直線與平面所成的角為；

條件②：為銳角，三棱錐的體積為.

在以上兩個條件中任選一個，補充在下面的問題中，并解決該問題：

若平面平面，______，求平面與平面所成的銳二面角的余弦值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如果執(zhí)行程序框圖，輸入正整數(shù)，，滿足，那么輸出的等于（ ）．

[Failed to download image : http://192.168.0.10:8086/QBM/2020/6/25/2492401463009280/2492946029182977/STEM/3a3c20c7c34c41528daf48813411739a.png]

A.B.C.D.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖所示，正四棱錐底面的四個頂點，，，在球的同一個大圓上，點在球面上，且已知．

（1）求球的表面積；

（2）設(shè)為中點，求異面直線與所成角的大小．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】雙曲線C的漸近線方程為，一個焦點為F（0，﹣8），則該雙曲線的標(biāo)準方程為_____.已知點A（﹣6，0），若點P為C上一動點，且P點在x軸上方，當(dāng)點P的位置變化時，△PAF的周長的最小值為_____.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】觀察不等式：，，，，由此歸納第個不等式為____________；要用數(shù)學(xué)歸納法證明該不等式，由時不等式成立，推證時，左邊應(yīng)增加的項數(shù)為____________.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知拋物線C:的焦點為F，直線y=4與y軸的交點為P，與C的交點為Q，且.

(1)求拋物線C的方程；

(2)過F的直線l與C相交于A,B兩點，若AB的垂直平分線與C相交于M,N兩點，且A,M,B,N四點在同一個圓上，求直線l的方程.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，以等腰直角三角形斜邊BC上的高AD為折痕，把△ABD與△ACD折成互相垂直的兩個平面后，某學(xué)生得出下列四個結(jié)論：

①；

②∠BAC＝60°；

③三棱錐D﹣ABC是正三棱錐；

④平面ADC的法向量和平面ABC的法向量互相垂直．

其中正確結(jié)論的序號是　 　．（請把正確結(jié)論的序號都填上）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù).

（1）求的單調(diào)遞增區(qū)間；

（2）若函數(shù)有兩個極值點且恒成立，求實數(shù)的取值范圍.

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