Question

【題目】假設(shè)每天從甲地去乙地的旅客人數(shù)X是服從正態(tài)分布N（800，502）的隨機(jī)變量．記一天中從甲地去乙地的旅客人數(shù)不超過900的概率為p0 ．
（1）求p0的值；
（參考數(shù)據(jù)：若X～N（μ，σ2），有P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）=0.6826，P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）=0.9544，P（μ﹣3σ＜X≤μ+3σ）=0.9974．）
（2）某客運(yùn)公司用A，B兩種型號的車輛承擔(dān)甲、乙兩地間的長途客運(yùn)業(yè)務(wù)，每車每天往返一次，A，B兩種車輛的載客量分別為36人和60人，從甲地去乙地的營運(yùn)成本分別為1600元/輛和2400元/輛．公司擬組建一個(gè)不超過21輛車的客運(yùn)車隊(duì)，并要求B型車不多于A型車7輛．若每天要以不小于p0的概率運(yùn)完從甲地去乙地的旅客，且使公司從甲地去乙地的營運(yùn)成本最小，那么應(yīng)配備A型車、B型車各多少輛？

Answer 1

【答案】
（1）解：由于隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N（800，502），故有μ=800，σ=50，P（700＜X≤900）=0.9544．

由正態(tài)分布的對稱性，可得p0=（P（X≤900）=P（X≤800）+P（800＜X≤900）=

（2）解：設(shè)A型、B型車輛的數(shù)量分別為x，y輛，則相應(yīng)的營運(yùn)成本為1600x+2400y．

依題意，x，y還需滿足：x+y≤21，y≤x+7，P（X≤36x+60y）≥p0．

由（1）知，p0=P（X≤900），故P（X≤36x+60y）≥p0等價(jià)于36x+60y≥900．

于是問題等價(jià)于求滿足約束條件

且使目標(biāo)函數(shù)z=1600x+2400y達(dá)到最小值的x，y．

作可行域如圖所示，可行域的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為P（5，12），Q（7，14），R（15，6）．

由圖可知，當(dāng)直線z=1600x+2400y經(jīng)過可行域的點(diǎn)P時(shí)，直線z=1600x+2400y在y軸上截距 最小，即z取得最小值．

故應(yīng)配備A型車5輛，B型車12輛．

【解析】（1）變量服從正態(tài)分布N（800，502），即服從均值為800，標(biāo)準(zhǔn)差為50的正態(tài)分布，適合700＜X≤900范圍內(nèi)取值即在（μ﹣2σ，μ+2σ）內(nèi)取值，其概率為：95.44%，從而由正態(tài)分布的對稱性得出不超過900的概率為p0 ． （2）設(shè)每天應(yīng)派出A型x輛、B型車y輛，根據(jù)條件列出不等式組，即得線性約束條件，列出目標(biāo)函數(shù)，畫出可行域求解．