Question

如圖，在平面四邊形ABCD中，DA⊥AB，DE=1，EC=

7

，EA=2，∠ADC=

2π

3

，∠BEC=

π

3

．
（Ⅰ）求sin∠CED的值；
（Ⅱ）求BE的長．

Answer 1

考點：余弦定理的應(yīng)用,正弦定理

專題：解三角形

分析：（Ⅰ）根據(jù)三角形邊角之間的關(guān)系，結(jié)合正弦定理和余弦定理即可得到結(jié)論．
（Ⅱ）利用兩角和的余弦公式，結(jié)合正弦定理即可得到結(jié)論．

解答： 解：（Ⅰ）設(shè)α=∠CED，
在△CDE中，由余弦定理得EC²=CD²+ED²-2CD•DEcos∠CDE，
即7=CD²+1+CD，則CD²+CD-6=0，
解得CD=2或CD=-3，（舍去），
在△CDE中，由正弦定理得

EC

sin∠EDC

=

CD

sinα

，
則sinα=

CD•sin 2π 3

EC

=

2× 3 2

7

=

21

7

，
即sin∠CED=

21

7

．
（Ⅱ）由題設(shè)知0＜α＜

π

3

，由（Ⅰ）知cosα=

1-sin2α

=

1- 21 49

=

2 7

7

，
而∠AEB=

2π

3

-α，
∴cos∠AEB=cos（

2π

3

-α）=cos

2π

3

cosα+sin

2π

3

sinα=-

1

2

×

2 7

7

+

3

2

×

21

7

=

7

14

，
在Rt△EAB中，cos∠AEB=

EA

BE

=

2

BE

，
故BE=

2

cos∠AEB

=

2

7 14

=4

7

．

點評：本題主要考查解三角形的應(yīng)用，根據(jù)正弦定理和余弦定理是解決本題本題的關(guān)鍵，難度不大．