Question

下列各組函數(shù)y=f（x）與y=g（x）在交點處有共同切線的是（　�。�
①f（x）=x²-1，g（x）=lnx
②f（x）=3x²+1，g（x）=x³+3x
③f（x）=（x+1）²，g（x）=e^x
④f（x）=

x

，g（x）=

e

2

lnx．

• A、①②
• B、②④
• C、②③
• D、③④

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：利用導數(shù)的幾何意義即可得到切線的斜率及其交點坐標，再判斷交點是否相同即可．

解答： 解：①f（x）=x²-1，g（x）=lnx．
設函數(shù)y=f（x）與y=g（x）的交點為P（x₀，y₀）．
∵f′（x）=2x，g′(x)=

1

x

（x＞0），
若f′(x0)=g′(x0)，則2x0=

1

x0

，解得x0=

2

2

．
而f(

2

2

)=

1

2

-1=-

1

2

，g(

2

2

)=ln

2

2

=-

1

2

ln2，
∴f(

2

2

)≠g(

2

2

)，因此不符合條件，應舍去．
②f（x）=3x²-1，g（x）=x³+3x．
設函數(shù)y=f（x）與y=g（x）的交點為P（x₀，y₀）．
∵f′（x）=6x，g′（x）=3x²+3，
若f′(x0)=g′(x0)，則6x0=3

x

2 0

+3，解得x₀=1．
又f（1）=3+1=4，g（1）=4
∴f（1）=g（1），因此符合條件．
③f（x）=（x+1）²，g（x）=e^x．
畫出圖象可知：f（x）與g（x）有三個交點，只有在x=0處的切線相同，
因此不符合題意應該舍去．
④f（x）=

x

，g（x）=

e

2

lnx．．
設函數(shù)y=f（x）與y=g（x）的交點為P（x₀，y₀）．
∵f′（x）=

1

2 x

，g′（x）=

e

2x

，（x＞0）
若f′(x0)=g′(x0)，則

1

2 x

=

e

2x

，解得x₀=e²．
而f（e²）=

e2

=e，g（e²）=

e

2

lne2=e
∴f（e²）=g（e²），因此符合條件．
綜上可知：只有②④滿足條件．
故選：B．

點評：本題考查了導數(shù)的幾何意義和切線方程，考查了推理能力和計算能力，屬于難題．