Question

在直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A（1，1），B（2，3），C（3，2），點(diǎn)P（x，y）在△ABC三邊圍成的區(qū)域（含邊界）上，且

OP

=m

AB

+n

AC

（m，n∈R）
（Ⅰ）若m=n=

2

3

，求|

OP

|；
（Ⅱ）用x，y表示m-n，并求m-n的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：簡(jiǎn)單線性規(guī)劃

專(zhuān)題：數(shù)形結(jié)合,平面向量及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）由點(diǎn)的坐標(biāo)求出向量

AB

和

AC

的坐標(biāo)，結(jié)合m=n=

2

3

，再由

OP

=m

AB

+n

AC

求得

OP

的坐標(biāo)，然后由模的公式求模；
（Ⅱ）由

OP

=m

AB

+n

AC

得到

x=m+2n y=2m+n

，作差后得到m-n=y-x，令y-x=t，然后利用線性規(guī)劃知識(shí)求得m-n的最大值．

解答： 解：（Ⅰ）∵A（1，1），B（2，3），C（3，2），
∴

AB

=(1，2)，

AC

=(2，1)，
又m=n=

2

3

，
∴

OP

=

2

3

(1，2)+

2

3

(2，1)=(2，2)．
∴|

OP

|=

22+22

=2

2

；
（Ⅱ）∵

OP

=m(1，2)+n(2，1)=(m+2n，2m+n)，
∴

x=m+2n y=2m+n

，兩式相減得，m-n=y-x．
令y-x=t，由圖可知，

當(dāng)直線y=x+t過(guò)點(diǎn)B（2，3）時(shí)，t取得最大值1，
故m-n的最大值為：1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了平面向量的數(shù)乘及坐標(biāo)加法運(yùn)算，考查了簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃，考查了數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，是中檔題．