【題目】某游戲棋盤上標有第、、、、站,棋子開始位于第站,選手拋擲均勻硬幣進行游戲,若擲出正面,棋子向前跳出一站;若擲出反面,棋子向前跳出兩站,直到跳到第站或第站時,游戲結(jié)束.設(shè)游戲過程中棋子出現(xiàn)在第站的概率為.
(1)當(dāng)游戲開始時,若拋擲均勻硬幣次后,求棋子所走站數(shù)之和的分布列與數(shù)學(xué)期望;
(2)證明:;
(3)若最終棋子落在第站,則記選手落敗,若最終棋子落在第站,則記選手獲勝.請分析這個游戲是否公平.
【答案】(1)分布列見解析,數(shù)學(xué)期望;(2)見解析;(3)游戲不公平.
【解析】
(1)由題意得出隨機變量的可能取值有、、、,求出相應(yīng)的概率,由此可得出隨機變量的分布列,并計算出隨機變量的數(shù)學(xué)期望;
(2)棋子要到第站,分兩種情況討論:一是由第站跳站得到,二是由第站跳站得到,可得出,變形后可得出結(jié)論;
(3)根據(jù)(2)中的的遞推公式得出和的大小關(guān)系,從而得出結(jié)論.
(1)由題意可知,隨機變量的可能取值有、、、,
,,
,.
所以,隨機變量的分布列如下表所示:
所以,;
(2)依題意,當(dāng)時,棋子要到第站,有兩種情況:
由第站跳站得到,其概率為;
可以由第站跳站得到,其概率為.
所以,.
同時減去得;
(3)依照(2)的分析,棋子落到第站的概率為,
由于若跳到第站時,自動停止游戲,故有.
所以,即最終棋子落在第站的概率大于落在第站的概率,游戲不公平.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】函數(shù)
(1)討論在其定義域上的單調(diào)性;
(2)設(shè),m,n分別為的極大值和極小值,若S=m-n,求S的取值范圍.
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【題目】已知拋物線:的準線經(jīng)過點.
(1)求拋物線的方程;
(2)設(shè)是原點,直線恒過定點,且與拋物線交于,兩點,直線與直線,分別交于點,.請問:是否存在以為直徑的圓經(jīng)過軸上的兩個定點?若存在,求出兩個定點的坐標;若不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知數(shù)列1、1、2、1、2、4、1、2、4、8、1、2、4、8、16、…,其中第一項是,接下來的兩項是、,再接下來的三項是、、,以此類推,若且該數(shù)列的前項和為2的整數(shù)冪,則的最小值為( )
A.440B.330C.220D.110
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【題目】已知函數(shù)(是非零實常數(shù))滿足且方程有且僅有一個實數(shù)解.
(1)求的值
(2)當(dāng)時,不等式恒成立,求實數(shù)的取值范圍
(3)在直角坐標系中,求定點到函數(shù)圖像上的任意一點的距離的最小值,并求取得最小值時的值
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【題目】(1)取何值時,方程()無解?有一解?有兩解?有三解?
(2)函數(shù)的性質(zhì)通常指函數(shù)的定義域、值域、周期性、單調(diào)性、奇偶性等,請選擇適當(dāng)?shù)奶骄宽樞颍芯亢瘮?shù)的性質(zhì),并在此基礎(chǔ)上,作出其在的草圖;
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】以直角坐標系原點O為極點,x軸的正半軸為極軸.已知點P的直角坐標為,點M的極坐標為,若直線l過點P,且傾斜角為,圓C以M點為圓心,4為半徑.
求直線l和圓C的極坐標方程;
直線l與x軸y軸分別交于A,B兩點,Q為圓C上一動點,求面積的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)求曲線的斜率為2的切線方程;
(2)證明:;
(3)確定實數(shù)的取值范圍,使得存在,當(dāng)時,恒有.
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