Question

【題目】設函數f（x）=a2x+ （a，b，c為常數，且a＞0，c＞0）．
（1）當a=1，b=0時，求證：|f（x）|≥2c；
（2）當b=1時，如果對任意的x＞1都有f（x）＞a恒成立，求證：a+2c＞1．

Answer 1

【答案】
（1）解：a=1，b=0時，

f（x）=x+ ，x＞0時，f（x）≥2 =2c，

x＜0時，f（x）≤﹣2 =﹣2c，

綜上：|f（x）|≥2c；

（2）解：a＞0，b＞0，b=1，x＞1時，x﹣1＞0，

∴f（x）=a2x+

=a2（x﹣1）+ +a2

≥2ac+a2

=a（2c+a）＞a，

∴a+2c＞1．

【解析】（1）求出f（x）的表達式，根據基本不等式的性質證明即可；（2）根據基本不等式的性質證明即可．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解函數的最大(小)值與導數的相關知識，掌握求函數在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數在內的極值；（2）將函數的各極值與端點處的函數值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值．